Un modo equivalente a quello dissonance per dimostrarlo è considerare che avere un insieme finito di punti che \( \epsilon \)-connette (ci siamo capiti, spero) $x$ e $y$ è una relazione di equivalenza. Allora $X$ e composto da classi di euivalenza disgiunte. Basta ora far vedere che ognuna di esse è aperta, come ha fatto dissonance.
Per il secondo punto, supponiamo per assurdo che $X$ non sia connesso e prendiamo due chiusi disgiunti $A$ e $B$ la cui unione è $X$. Siccome sono pure compatti la loro distanza è positiva e allora basta prendere $\epsilon$ più piccolo della loro distanza (o metà di essa, ora non ho tempo per fare i conti) e viene che due punti di $A$ e $B$ non possono essere \( \epsilon \) connessi (ci capiamo di nuovo).
Per esempio però lo spazio \( [0,1) \cup (1 , 2] \) soddisfa la proprietà del punto $(a)$ però non è connesso. E infatti non è compatto.
P.S. : mi scuso per la poca cura con cui è stato scritto questo post, ma ora non ho tempo per scrivere bene le cose ma l'esercizio mi pareva molto carino.
P.P.S. : @otta non hai mai più guardato l'esercizio sul teorema delle contrazioni che hai messo in "Pensare un po' di più"
P.P.P.S. : @otta è la locale connessione per archi quello di cui parli?