Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda otta96 » 11/12/2018, 00:06

Assolutamente no, è un'istanza di un'idea più generale, che è la stessa che si usa per dimostrare quello che ha detto dossonance.
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda dissonance » 11/12/2018, 12:02

@anto:
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stiamo aspettando la soluzione del punto (a). Non ti distrarre con altri post! (Pure io uso procrastinare, rispondendo a domande "semplici" su questo forum, ti capisco. Però non va bene).
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda anto_zoolander » 11/12/2018, 12:26

@disssss
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un ma firuuuu :lol:

A parte lo scherzo, non mi viene nulla per ora. Conoscevo quella proprietà dei connessi di $RR^n$, ma non mi viene niente in mente. Nel senso che ho aspettato che mi venisse un’idea senza applicarmi, di pomeriggio ci provo.

Ah una cosa l’ho fatta: ho provato a definire delle poligonali su uno spazio metrico, ma sono solo riuscito a dimostrare che siano chiuse.
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda dissonance » 11/12/2018, 12:47

Non puoi usare il risultato come una scatola nera. Su uno spazio metrico non ha senso parlare di "poligonale". Quello che devi fare è adattare la dimostrazione al tuo caso; è molto più semplice di come stai pensando.
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda otta96 » 11/12/2018, 13:35

Dissonance ma te hai capito come farlo?
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OT per otta (no pun intended)

Messaggioda dissonance » 11/12/2018, 14:47

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
:lol: :lol: :lol:

Non ti fidi eh?

Allora scrivo una soluzione. Fissiamo \(p\in X\) e \(\epsilon>0\). Sia
\[
H=\{ x\in X\ |\ \exists N\ge 1,\ \exists x_0=p, x_1, x_2,\ldots, x_N=x\ ,\ d(x_i, x_{i+1})\le \epsilon\}.
\]
Affermiamo che questo insieme è chiuso e aperto contemporaneamente, e quindi, siccome \(X\) è connesso, deve essere \(H=X\), ovvero la tesi.

Per dimostrare l'affermazione notiamo che, se \(x\in H\) e \(\delta<\epsilon\), allora ogni \(y\in B_\delta(x)\) appartiene ad \(H\). (Qui \(B_\delta(x)\) denota la palla aperta di centro \(x\) e raggio \(\delta\)). Infatti, per definizione di \(H\) esistono \(x_1, x_2,\ldots, x_N=p\) tali che \(d(x_i, x_{i+1})\le \epsilon\); ma allora definendo \(x_{N+1}=y\) si vede che \(y\in H\). Quindi \(H\) è aperto. L'analogo ragionamento mostra che il complementare \(X\setminus H\) è pure esso aperto.

Quanto al punto (b), non lo so fare e sono molto curioso di vedere un esempio.
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda otta96 » 11/12/2018, 15:10

Non è che non mi fidavo :-D, è solo che non avevo capito se ti fossi messo a farlo oppure no. Comunque è perfetta la soluzione :smt023
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda Bremen000 » 11/12/2018, 16:52

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Un modo equivalente a quello dissonance per dimostrarlo è considerare che avere un insieme finito di punti che \( \epsilon \)-connette (ci siamo capiti, spero) $x$ e $y$ è una relazione di equivalenza. Allora $X$ e composto da classi di euivalenza disgiunte. Basta ora far vedere che ognuna di esse è aperta, come ha fatto dissonance.

Per il secondo punto, supponiamo per assurdo che $X$ non sia connesso e prendiamo due chiusi disgiunti $A$ e $B$ la cui unione è $X$. Siccome sono pure compatti la loro distanza è positiva e allora basta prendere $\epsilon$ più piccolo della loro distanza (o metà di essa, ora non ho tempo per fare i conti) e viene che due punti di $A$ e $B$ non possono essere \( \epsilon \) connessi (ci capiamo di nuovo).

Per esempio però lo spazio \( [0,1) \cup (1 , 2] \) soddisfa la proprietà del punto $(a)$ però non è connesso. E infatti non è compatto.

P.S. : mi scuso per la poca cura con cui è stato scritto questo post, ma ora non ho tempo per scrivere bene le cose ma l'esercizio mi pareva molto carino.

P.P.S. : @otta non hai mai più guardato l'esercizio sul teorema delle contrazioni che hai messo in "Pensare un po' di più" :snakeman:

P.P.P.S. : @otta è la locale connessione per archi quello di cui parli?
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda dissonance » 11/12/2018, 18:22

Bremen scusa un attimo, ma se [0,1) U (1,2] verifica quella proprietà, perché mai $\mathbb R \setminus 1$ non dovrebbe verificarla?
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Re: [EX] Spazi metrici connessi.

Messaggioda Bremen000 » 11/12/2018, 18:32

Probabilmente sono confuso ma \( \mathbb{R} \setminus \{ 1 \} \) verifica \( (a) \) però non è connesso (e infatti non è compatto).
Cioè io devo far vedere che, in generale, se \( (X, d) \) non è compatto può essere che vale \( (a) \) ma lo spazio non è connesso. Che è quello che dovrei aver fatto. Dove mi incarto?
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