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Calcolo combinatorio e determinanti.

11/12/2018, 21:45

Salve,
Non saprei a che sezione è più affine il seguente problema, che non dovrebbe essere troppo difficile però avendo fatto poco calcolo combinatorio alle superiori non saprei come cavarmela. Praticamente vorrei capire meglio come si dimostra il seguente "teorema":

"Detti minori di una matrice $A_(m,n)$ di ordini $m,n$ i determinanti delle sottomatrici quadrate di ordine $r$ ($r<=m$ se $m<n$; $r<=n$ se $m>n$) estraibili dalla matrice $A_(m,n)$, da una matrice di ordine $m,n$ si possono estrarre:

$((m),(k))*((n),(k))$

minori di ordine $k$.
"
Chiaramente da ciò segue anche che se la matrice $A$ è quadrata del tipo $A_(n,n)$ i minori estraibili saranno:

$((n),(k))^2$
Mi potete dare uno spunto? come si può ragionare?

Re: Calcolo combinatorio e determinanti.

12/12/2018, 00:38

Forse $k$ è $r$? In tal caso, devi contare quanti modi ci sono di scegliere $r$ elementi da un insieme di $n$ (le righe) e altri $r$ da un insieme di $m$ (le colonne). Il risultato è il prodotto di questi due modi (ci sono diverse maniere di giustificarlo, a seconda della profondità di formalismo che ti serve), ed è quindi \(\binom{m}{r}\binom{n}{r}\).

Re: Calcolo combinatorio e determinanti.

12/12/2018, 15:27

Ok. Sono combinazioni semplici, quindi dove non conta l'ordine delle sequenze, per come è definita la sottomatrice. Grazie mille.
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