Autovettori e matrici simmetriche

[MMarco]

Buongiorno.
E' noto che gli autovettori di una matrice simmetrica, relativi ad autovalori distinti, sono perpendicolari.
Vale il contrario? Cioè si può affermare che se una matrice ha gli autovettori perpendicoli allora sarà simmetrica?
Grazie

[anto_zoolander]

Ciao!

Vale una cosa più generale. Dati uno spazio euclideo $(V,<<,>>)$ e un endomorfismo $T in End(V)$; se $T$ è autoaggiunto ed esistono due autovettori relativi a due autovalori distinti, essi sono ortogonali.

Per il viceversa no, in generale non è vero.

Prendi la matrice $[(1,1),(0,0)]$ ha come autovalori 1 e 0. La matrice è inoltre diagonalizzabile e ha due autovettori: uno sicuramente è il vettore nullo e l’altro no. Quindi sono ortogonali senza che la matrice sia simmetrica

[dissonance]

@anto: Il vettore nullo non è mai un autovettore, per convenzione. E quella matrice non è un esempio valido, perché i suoi autospazi non sono ortogonali; infatti, i due autospazi sono generati da \((1,0)\) e \((1, -1)\) rispettivamente.

Riprova con qualche altra matrice non diagonalizzabile.

[anto_zoolander]

@beppe
la mattina ha un effetto devastante sui miei neuroni, hai ragione, chiedo venia.

Prendi la matrice $A=[(1,0,0),(0,1,0),(0,1,-1)]$
Ha come autovettori $(1,0,0)$ e $(0,2,1)$ rispetto all’autovalore $1$ e $(0,0,1)$ rispetto all’autovalore $-1$.

- la matrice non è simmetrica
- $(1,0,0)$ e $(0,0,1)$ sono autovettori relativi ad autovalori distinti
- sono ortogonali

[dissonance]

Pure questa matrice non ha gli autospazi ortogonali. Ma ti stai avvicinando. Riprova con
\[
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0& 0 & 0\end{bmatrix}.\]

[anto_zoolander]

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mi dispiace aver letto male le richieste, non mi ero reso conto che il viceversa richiedesse gli autospazi in somma ortogonale e mi dispiace davvero perché ho sempre questo difetto di leggere in fretta.

A questo punto la tua matrice risolve il problema visto che $<(1,0,0)>$ e $<(0,0,1)>$ sono gli autospazi

[dan95]

Va bene anche una matrice hermitiana non simmetrica