Il primo esercizio:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 & 2 & 0\\
-1 & -2 & 2-\alpha & -\alpha & \alpha-1\\
2 & 4 & -\alpha-1 & 3-\alpha & 0\\
1 & 2 & 1-2\alpha & 3-2\alpha & \alpha-1
\end{bmatrix} \)
eseguendo l'eliminazione gaussiana trovo che
\(\displaystyle rk(A)\neq rk(A|b) \) quindi per il teorema di Rouché_Capelli posso affermare che il sistema non è risolvibile. A conferma anche che il determinante risulta = 0
1)È corretto?
Il secondo esercizio:
Mi viene dato il seguente sistema
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
\alpha x & -y & (\alpha+1)z & =1\\
x & y & 2z & =0\\
3x & y & 3z & =\alpha
\end{matrix}\right. \)
ricavo allora la matrice completa
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
\alpha & -1 & \alpha+1 & 1\\
1& 1 & 2 & 0\\
3 & 1 & 3 & \alpha
\end{bmatrix} \)
eseguo le operazioni di gauss
\(\displaystyle E_{1}(1/\alpha) con\alpha\neq0,E_{21}(-1),E_{31}(-3),E_{2}(\alpha/\alpha+1)con \alpha\neq-1,E_{32}(-(\alpha+3/\alpha)),E_{3}(-(\alpha+1/\alpha+5))con\alpha\neq-5 \)
e trovo che
\(\displaystyle rk(A)=3= rk(A|b)=3 \), dunque il sistema ha un'unica soluzione?!
con le condizioni che \(\displaystyle \alpha\neq 0, \alpha\neq -1, \alpha\neq -5 \)
poi verifico i singoli casi, ossia \(\displaystyle \alpha=0, \alpha=-1, \alpha=-5 \)
per ognuno dei casi sostituisco alpha nella matrice originale per verificare se il sistema è risolvibile.
con \(\displaystyle \alpha=0 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> il sistema ha un'unica soluzione
con \(\displaystyle \alpha=-1 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> il sistema ha un'unica soluzione
con \(\displaystyle \alpha=-5 \) risulta \(\displaystyle rk(A) = 3 = rk(A|b)=3 \) ---> sistema non risolvibile
2)Qual'è dunque la risposta conclusiva che devo dare?
3)Non capisco inoltre perchè se anzichè risolvere con il metodo di Gauss svolgo risolvendo attraverso il determinante non trovo \(\displaystyle \alpha=0,\alpha=1 \) ma solo \(\displaystyle \alpha=-5 \)
Grazie a chi riuscirà a spiegarmi
