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gugo82 ha scritto:No, dai... È facile!

Ma ancora meglio è il caso $a=0 ^^ b=0$.

Ah, ma io pensavo criticassi l'esempio specifico (in cui per la verità volevo specificare per comodità che a e b erano positivi).
Diciamo che esiste una sola soluzione al problema posto
...ma deve trovarla lui.

Ok allora siccome il vettore nullo appartiene a W per ogni \(\displaystyle a,b \in R\) vado a controllare se tale sottospazio è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare per tutti gli a e b :

-per quanto riguarda la somma mi risulta che il sottospazio è chiuso rispetto a questa operazione per ogni \(\displaystyle a,b \in R\)
-mentre il sottospazio è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare solo quando lo scalare per cui moltiplichiamo è maggiore uguale a zero.

Sinceramente mi sembra di aver sbagliato ancora una volta, non mi convince molto il risultato che ho ottenuto nel secondo punto.

Nella sostanza, il suggerimento era di puntare direttamente all'assioma che non viene soddisfatto, ovvero dimostrare che dato un vettore v appartenente allo spazio in questione, non esiste (sempre) un vettore -v (nella varie casistiche)
Prendiamo un vettore $v=(v_x, v_y) in W(a,b)$ e il suo opposto $-v=(-v_x, -v_y)$ e vediamo se quest'ultimo appartiene a W.

caso $a,b!=0$ $W(a,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ (a+b)x+by<=0 \}$
$(a+b)(-v_x)+b(-v_y)<=0$ $rArr$ $-[(a+b)v_x+bv_y]<=0$ $rArr$ $(a+b)(v_x)+b(v_y)>=0$
E abbiamo raggiunto una contraddizione. Tradotto, se v ha un -v allora v non appartiene a W.

caso $a=0$ e $b!=0$ $W(0,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ b(x+y)<=0 \}$
$b(-v_x-v_y)<=0$ $rArr$ $-b(v_x+v_y)<=0$ $rArr$ $b(v_x+v_y)>=0$
Come sopra.

caso $a!=0$ e $b=0$ $W(a,0) := \{ (x,y) in RR^2 :\ ax<=0 \}$
$-av_x<=0$ $rArr$ $av_x>=0$
Idem

caso $a=b=0$ $W(0,0) := \{ (0,0)}$
W degenera nell'origine...ma è pur sempre uno spazio vettoriale anche se banale.

P.S. Forse dovevo essere più preciso e specificare che il vettore v scelto deve avere come condizione:
- $v_y!=-(a+b)/bv_x$ nel primo caso
- $v_y!=-v_x$ nel secondo caso
- $v_y!=0$ nel terzo

Insomma, v non deve trovarsi al confine.

Quindi praticamente risulta che è un sottospazio solo quando a e b sono uguali a zero ?

Adesso posto la risoluzione di un esercizio uguale a questo così vediamo se ho capito

Facciamo così...
In $R^2$ solo le rette passanti per l'origine e $R^2$ stesso sono spazi vettoriali
In $R^3$ solo le rette e i piani passanti per l'origine e $R^3$ stesso sono spazi vettoriali
Etc etc.
L'origine invece è sempre uno spazio vettoriale per definizione

Francamente questi esercizi li trovo deprimenti.

Il fatto è che non riesco a capire queste analogie e osservazioni che fai quindi mi rimane difficile l'esercizio anche se è facile.

Sinceramente ancora non riesco a capire la risoluzione dell'esercizio. Una volta che io so che il vettore nullo appartiene al sottospazio per tutti gli \(\displaystyle a,b \in R\), devo andare a verificare se il sottospazio W(a,b) è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare ma è qui che mi blocco perché non riesco a capire che condizioni imporre per trovare a e b.

Elia1999 ha scritto:Ok allora siccome il vettore nullo appartiene a W per ogni \(\displaystyle a,b \in R\) vado a controllare se tale sottospazio è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare per tutti gli a e b :

-per quanto riguarda la somma mi risulta che il sottospazio è chiuso rispetto a questa operazione per ogni \(\displaystyle a,b \in R\)
-mentre il sottospazio è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare solo quando lo scalare per cui moltiplichiamo è maggiore uguale a zero.

Giustissimo!
Ma stai implicitamente assumendo come ipotesi che $b!=0 vv a+b !=0$, facci caso... Ed in queste ipotesi il tuo $W(a,b)$ non può essere un sottospazio, perché (come suggeriva Bokonon) esso non contiene $-mathbf(u)=(-1)*mathbf(u)$ se $mathbf(u) != mathbf(0)$.

Cosa succede se, invece, $b=0 ^^ a+b =0$?

Elia1999 ha scritto:Sinceramente mi sembra di aver sbagliato ancora una volta, non mi convince molto il risultato che ho ottenuto nel secondo punto.

Ma no, ma no... Non abbatterti.
Come detto più volte in queste pagine, quando si comincia a fare qualcosa da sé è del tutto normale avere dubbi e fare errori.
L’importante è non farsi scoraggiare e cercare di capire cosa c'è che non va e come porvi rimedio.


P.S.: Non è un caso che i $W(a,b)$ siano chiusi solo per moltiplicazione con scalari positivi. Infatti, i $W(a,b)$ sono dei semipiani.

Se \(\displaystyle a+b=0 \wedge b=0\) risulta che il sottospazio coincide con \(\displaystyle R^2\)