Applicazioni lineari con spazi di polinomi..help me!

Messaggioda cristina98 » 17/01/2019, 17:36

Ciao a tutti ragazzi..sono in difficoltà con questo esercizio e mi servirebbe gentilmente un vostro aiuto! L'esercizio è il seguente:
R2[x]--->R2[x] p(x)--->(-1/2 x^2+1/2x+3/2)p''(x)+(3x+2)p'(x)+p(x)
Devo determinare se questa applicazione è lineare e la matrice associata ad essa. Mi hanno detto che per determinare la matrice associata alle applicazioni lineari con spazi di polinomi,bisogna prendere la base canonica,in questo caso R^2 quindi (1,x,x^2) e applicare la funzione ad ogni elemento della base. Iniziando da f(1)= (-1/2x^2+1/2x+3/2) (per la derivata seconda di uno) quindi 0+ (3x+2) per 0 + 1 e quindi il primo vettore della matrice dovrebbe essere 1,0,0..è giusto? help me!! :roll: :roll:
cristina98
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Re: Applicazioni lineari con spazi di polinomi..help me!

Messaggioda Bokonon » 18/01/2019, 07:39

Benvenuta!

Dobbiamo trovare l'applicazione T che prende un polinomio generico di secondo grado p(x) e lo trasforma in:
$T[p(x)]=hp^('')(x)+kp^'(x)+p(x)$ dove $h=-1/2x^2+1/2x+3/2$ e $k=3x-2$

Per provare la linearità prendiamo una combinazione lineare di due generici polinomi p(x) e p(y):

$T[alphap(x)+betap(y)]=h(alphap^('')(x)+betap^('')(y))+k(alphap^'(x)+betap^'(y))+alphap(x)+betap(y)=alpha[hp^('')(x)+kp^'(x)+p(x)]+beta[hp^('')(y)+kp^'(y)+p(y)]=alphaT[p(x)]+betaT[p(y)]$
Quindi l'applicazione è lineare.

Ora prendiamo un generico polinomio di secondo grado $p(x)=ax^2+bx+c$ che, rispetto alla base $(1,x,x^2)$ è univocamente definito dal vettore dei suoi coefficienti $(c,b,a)$), e che avrà $p^'(x)=2ax+b$ e $p^('')(x)=2a$.
Adesso andiamo a vedere come T lo trasforma.

$T[p(x)]=(-1/2x^2+1/2x+3/2)(2a)+(3x-2)(2ax+b)+ax^2+bx+c=(6a)x^2+(5a+4b)x+(3a+2b+c)$

Questo polinomio espresso rispetto alla base scelta $(1,x,x^2)$ è univocamente definito dal vettore dei suoi coefficienti $(3a+2b+c,5a+4b,6a)$.
E ora la domanda che ci poniamo è "quale sarà la matrice T (3x3) che trasforma $(c,b,a)$ in $(3a+2b+c,5a+4b,6a)$?".

Ovvero $T( ( c ),( b ),( a ) ) = ( ( 3a+2b+c ),( 5a+4b ),( 6a ) )$
da cui si ricava immediatamente che la matrice associata all'applicazione e alla base $(1,x,x^2)$ è $ T=( ( 1 , 2 , 3 ),( 0 , 4 , 5 ),( 0 , 0 , 6 ) ) $
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