Esercizi sui tipi di matrice

[Elia1999]

Salve, so quelli che sto per proporre sono esercizi facili e prettamente teorici ma alcuni mi rimangono difficili mentre per altri vorrei solo sapere se li ho fatti bene. Gli esercizi sono i seguenti :

1)Siano \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B \) due matrici involutorie dello stesso ordine. \(\displaystyle A+B \) è involutoria ?

Svolgimento : essendo le due matrici involutorie ho che \(\displaystyle A^2=I \) e \(\displaystyle B^2=I \). Poi se \(\displaystyle A+B \) è involutoria significa che \(\displaystyle (A+B)^2 = I \) svolgendo il quadrato risulta questo \(\displaystyle (A+B)^2 = A^2 + B^2 + AB + BA = I+I+AB+BA = 2I+AB+BA \). Quindi \(\displaystyle A+B \) non è involutoria.

2)Siano\(\displaystyle A \) e\(\displaystyle B \) due matrici 2x2 tali che \(\displaystyle A+B \) sia idempotente. \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B \) devono essere idempotenti ?

Svolgimento : essendo \(\displaystyle A+B \) idempotente risulta che \(\displaystyle (A+B)^2=A+B \). Ponendo che \(\displaystyle A^2=A \) e \(\displaystyle B^2=B \) ossia supponendo che le due matrici siano idempotenti risulta che \(\displaystyle (A+B)^2=A^2 +B^2 +AB+BA=A+B+A+B=2A+2B \) quindi risulta che non è necessario che le due matrici siano idempotenti.

Quest'ultimo esercizio non mi convince molto, comunque ora passo agli esercizi che non sono proprio riuscito a svolgere :

3)Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) due matrici tali che \(\displaystyle I+A+AB=0 \). \(\displaystyle A \) è invertibile ?
4)Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) due matrici idempotenti dello stesso ordine. \(\displaystyle A+B \)è idempotente ?
5)Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) due matrici quadrate dello stesso ordine tali che \(\displaystyle AB \) sia invertibile. \(\displaystyle BA \) è invertibile ?

[fmnq]

Per 3, basta chiedersi se $AB+I$ è invertibile.
Per 4, non c'è nessuna differenza col caso di matrici $2\times 2$, te ne rendi conto?
Per 5, la risposta è sì, ma stai usando fortemente l'ipotesi che $A,B$ siano matrici di applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita: se $AB=S$ è invertibile, $A$ è iniettiva, e siccome è quadrata è anche suriettiva, quindi è un isomorfismo, quindi $BS^{-1}=A^{-1}$ e $(BA)^{-1}=(A^{-1}SA)^{-1}=A^{-1}S^{-1}A$.

[Elia1999]

Riguardo al numero 3 :
\(\displaystyle (AB+I)^-1 = (AB)^-1 + I = B^-1 A^-1 + I \) non so se lo svolgimento è esatto comunque mi risulta che \(\displaystyle A\) non è invertibile.

Per quanto riguarda l'esercizio numero 2 che è uguale al numero 4 lo svolgimento quindi è esatto ?

[Bokonon]

$(A+B)^2=A^2 +B^2 +AB+BA=A+B+A+B$

Ma come è possibile?
Assumendo che A e B siano idempotenti al massimo diventa $(A+B)^2=A^2 +B^2 +AB+BA=A+B+AB+BA$
Da cui, poichè A+B è assunto idempotente deve valere l'equazione $A+B+AB+BA=A+B$
Quindi ipotizzando che anche A e B siano idempotenti otteniamo che $AB=-BA$ che è impossibile.
Quindi A e B non solo non "devono" ma non possono essere idempotenti.

Riguardo al numero 3 :
$(AB+I)^-1 = (AB)^-1 + I$

Questo non è affatto vero in generale...e anche nel particolare ho seri dubbi che sia possibile.

[Bokonon]

3)Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) due matrici tali che \(\displaystyle I+A+AB=0 \). \(\displaystyle A \) è invertibile ?

Sicuro che non dicano nulla su B? Perchè rende il tutto meno elegante...

$I+A+AB=0$ $rArr$ $A+I=-AB$ $rArr$ $det(A+I)=det(-AB)=-det(A)det(B)$
Ora se B è singolare allora $det(A+I)=0$ e questo è vero sempre (sia che A sia invertibile o meno) nel caso in cui un autovalore di A sia -1.
Se B è invertibile allora A è invertibile solo quando nessuno dei suoi autovalori è pari a -1.

5)Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) due matrici quadrate dello stesso ordine tali che \(\displaystyle AB \) sia invertibile. \(\displaystyle BA \) è invertibile ?

$det(AB)=det(A)det(B)!=0$ per ipotesi. Quindi $det(A)!=0$ e $det(B)!=0$
Ergo $det(BA)=det(B)det(A)!=0$ quindi anche BA è invertibile

[Elia1999]

$(A+B)^2=A^2 +B^2 +AB+BA=A+B+A+B$

Ma come è possibile?
Assumendo che A e B siano idempotenti al massimo diventa $(A+B)^2=A^2 +B^2 +AB+BA=A+B+AB+BA$
Da cui, poichè A+B è assunto idempotente deve valere l'equazione $A+B+AB+BA=A+B$
Quindi ipotizzando che anche A e B siano idempotenti otteniamo che $AB=-BA$ che è impossibile.
Quindi A e B non solo non "devono" ma non possono essere idempotenti.

C'è una proprietà che dice che siano \(\displaystyle A \) e\(\displaystyle B \) tali che \(\displaystyle AB=A \) e \(\displaystyle BA=B \) allora \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) sono idempotenti. Ho pensato che supponendo che le due matrici fossero idempotenti tale proprietà fosse valida.

[Bokonon]

C'è una proprietà che dice che siano \(\displaystyle A \) e\(\displaystyle B \) tali che \(\displaystyle AB=A \) e \(\displaystyle BA=B \) allora \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) sono idempotenti. Ho pensato che supponendo che le due matrici fossero idempotenti tale proprietà fosse valida.

Non l'ho mai sentita prima
Hai dei riferimenti?
Ma comunque tu affermeresti che varrebbe anche il viceversa...

P.S. Ho trovato e in effetti la dimostrazione è semplice...si imapara sempre qualcosa!
Però nessuno ha dimostrato il contrario...

[Elia1999]

La proprietà presumo che esista visto che il docente del corso di geometria l'ha scrisse alla lavagna. Comunque sia ho sbagliato a dedurre che fosse valido il viceversa.

[Bokonon]

La proprietà presumo che esista visto che il docente del corso di geometria l'ha scrisse alla lavagna.

Non l'ho messo in dubbio. Ho messo la faccina "sinceramente" sorpresa

[fmnq]

La proprietà presumo che esista visto che il docente del corso di geometria l'ha scrisse alla lavagna.

Non l'ho messo in dubbio. Ho messo la faccina "sinceramente" sorpresa

E' abbastanza facile da dimostrare; è il viceversa, a non essere vero, appunto.