Ti rendi conto del fatto che fai domande e poi non accetti nulla di quello che ti si dice?
1. Daken97 ha scritto:Salve ragazzi. Supponiamo che io ho un sottospazio vettoriale W di V, e il suo complemento ortogonale; mi potete mostrare un caso per cui la somma delle rispettive dimensioni è maggiore di V? Lo chiedo perchè secondo me dovrebbero sempre coincidere, ma alcune fonti non sono dello stesso parere...
continui a parlare del prodotto scalare standard, ma nel tuo primo messaggio non hai fatto alcun riferimento ad esso. Hai solo parlato del complemento ortogonale che puoi definire per una QUALSIASI forma bilineare simmetrica o antisimmetrica.
Io ti ho mostrato che è possibile trovare una forma bilineare simmetrica per cui quella cosa vale.
2.Daken97 ha scritto:Dunque... per la legge di Grassmann: dim(w+w⊥)=dim(w)+dim(w⊥ )-dim(w ∩ w⊥). Ora, a casa mia (w ∩ w⊥)= {0 } (vettore nullo) SEMPRE, perchè l'unico vettore ortogonale a sé stesso è proprio quello nullo.
Ma chi l'ha detto? esistono tantissime forme bilineari con vettori isotropi. Per esempio se prendi una forma simmetrica $b$ dove esiste almeno un vettore $v$ isotropo(ossia $b(v,v)=0$) allora $<<v>> cap <<v>> ^(_|_)= <<v>>$ infatti
$b(v,v)=0 => v in <<v>>^(_|_) => <<v>> subset <<v>>^(_|_) => <<v>> cap <<v>> ^(_|_)= <<v>>$
se non ci credi prendi $b(X,Y)=X^t[(1,0),(0,0)]Y$ e calcola $<<e_2>>cap<<e_2>>^(_|_)$ con $e_2=(0,1)$
Quello che dici è vero in determinate occasioni. data $b:VtimesV->k$ forma bilineare e $WleqV$ un sottospazio vettoriale: se $Rad(b_(|WtimesW))={0}$ allora $WcapW^(_|_)={0}$
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
basta notare che $Rad(b_(|WtimesW))=WcapW^(_|_)$
quindi se $b_(|WtimesW)$ è non degenere allora $WcapW^(_|_)={0}$, quindi:
$dim(W+W^(_|_))=dimW+dimW^(_|_)geqV => WoplusW^(_|_)=V $
3. Daken97 ha scritto:ciò che dico io è possibile solo se nella definzione di "sottospazio ortogonale" consideriamo un prodotto scalare qualunque, e non necessariamente quello canonico.
No. Semplicemente dipende tutto da questo cosa
$Rad(b)ne{0} => exists v in V: b(v,v)=0$
Quindi per contronominale $forallv in V, b(v,v)ne0 => Rad(b)={0}$
se una forma è un prodotto scalare allora $b$ e $b_(|WtimesW)$ sono entrambi non generi(per ogni sottospazio non banale il secondo) e pertanto si ha sempre $dimW+dimW^(_|_)=dimV$
4. Daken97 ha scritto:(X1.....Xn)×(Y1....Yn)=X1Y1+XnYn
Questo per me è il prodotto scalare standard, poi ne esistono pure altri, ma sono sempre definiti da una forma bilineare
Quello è il prodotto scalare standard $b : RR^ntimesRR^n->RR$ definito come $b(X,Y) = X^tY$ ed è chiaro che sia un prodotto scalare che gode di tutte quelle proprietà, ma non pensare che qualsiasi cosa si presenti come $x_1y_1+...+x_ny_n$ sia il prodotto scalare standard, perché potrebbe essere che spunta così perchè è stata diagonalizzata.
Per le prossime volte: spiega per bene quello che vuoi fare.
La maggior parte dei tuoi post finiscono per sembrare delle trollate