Diagonalizzazione e ortogonalità

[Tommaso99]

Ciao a tutti, ho una prova di geometria a breve e mi sfugge questa cosa.
Abbiamo fatto il teorema spettrale e ci siamo soffermati sul fatto che ogni matrice simmetrica ammette una base ortonormale formata da suoi autovettori. Quello che non capisco è perché abbiamo specificato questa cosa? Nel senso, non bastava dire che qualsiasi matrice simmetrica è diagonizzabile?
Anche perché qualsiasi matrice diagonalizzabile permette di creare una base ortogonale e ortonormale formata da suoi autovettori, no?

[dissonance]

No. Esistono matrici che sono diagonalizzabili, ma non rispetto ad una base ortonormale.

ogni matrice permette di costruire una base ortonormale di autovettori

Questo è falso. Prendi per esempio una matrice 2x2 avente autovettori \((1, 0)\) e \((1, 1)\), che NON sono ortogonali, relativi ad autovalori differenti. I due autospazi non sono ortogonali e non c'è modo di fare quello che suggerisci. Esempio concreto:
\[\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.\]

[Tommaso99]

No. Esistono matrici che sono diagonalizzabili, ma non rispetto ad una base ortonormale.

ogni matrice permette di costruire una base ortonormale di autovettori

Questo è falso. Prendi per esempio una matrice 2x2 avente autovettori \((1, 0)\) e \((1, 1)\), che NON sono ortogonali, relativi ad autovalori differenti. I due autospazi non sono ortogonali e non c'è modo di fare quello che suggerisci. Esempio concreto:
\[\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.\]

Mmhh non riesco a capire. Anche nell'esempio che mi hai fatto tu non basterebbe ortogonalizzare i due vettori e poi renderli ortonormali? Non è questo il procedimento? In questo modo non si trova una base ortonormale formata da autovettori oppure il problema è che ortogonalizzandoli possono non essere più autovettori?

[dissonance]

Prova a farlo. Applica Gram Schmidt ai due autovettori di quella matrice. Che cosa ottieni? I due vettori che hai ottenuto sono autovettori?

[Tommaso99]

Prova a farlo. Applica Gram Schmidt ai due autovettori di quella matrice. Che cosa ottieni? I due vettori che hai ottenuto sono autovettori?

Allora ortonormalizzando $(1,1)$ e $(1,0)$ mi vengono $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ e $(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)$ che appartengono allo span dei primi due e quindi dovrebbero essere ancora autovettori no?

[Bokonon]

Allora ortonormalizzando $(1,1)$ e $(1,0)$ mi vengono $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ e $(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)$ che appartengono allo span dei primi due e quindi dovrebbero essere ancora autovettori no?

$(1,1)$ e $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ vanno bene, perchè puoi allungaree accorciare $(1,1)$ a piacimento e il vettore risultante si troverà ancora nel medesimo span. Quindi anche $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ è un autovettore di $lambda=0$.

$(1,0)$ invece è l'autovettore relativo a $lambda=1$ infatti $ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( 1 ),( 0 ) )=1* ( ( 1 ),( 0 ) ) $
come da definizione $Ax=lambdax$

Ora prova (come ti ha chiesto dissonance) a fare $ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( sqrt(2)/2 ),( -sqrt(2)/2 ) )=?* ( ( 1 ),( 0 ) ) $
Questo autovettore è ancora relativo all'autovalore 1 o no?

[Tommaso99]

Allora ortonormalizzando $(1,1)$ e $(1,0)$ mi vengono $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ e $(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)$ che appartengono allo span dei primi due e quindi dovrebbero essere ancora autovettori no?

$(1,1)$ e $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ vanno bene, perchè puoi allungaree accorciare $(1,1)$ a piacimento e il vettore risultante si troverà ancora nel medesimo span. Quindi anche $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ è un autovettore di $lambda=0$.

$(1,0)$ invece è l'autovettore relativo a $lambda=1$ infatti $ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( 1 ),( 0 ) )=1* ( ( 1 ),( 0 ) ) $
come da definizione $Ax=lambdax$

Ora prova (come ti ha chiesto dissonance) a fare $ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( sqrt(2)/2 ),( -sqrt(2)/2 ) )=?* ( ( 1 ),( 0 ) ) $
Questo autovettore è ancora relativo all'autovalore 1 o no?

Vero, sono stupido io, bastava anche vedere che non apparteneva allo span di $(1,0)$ vero? (Perchè $(1,0)$ è base di quell'autospazio).
Quindi ora mi chiedo c'è un modo a priori di capire se una matrice è ortonormalmente diagonalizzabile senza andare a fare tutti questi pasaggi? Oppure invece le uniche matrici orton. diagonalizzabili sono le simmetriche?

[Bokonon]

bastava anche vedere che non apparteneva allo span di $(1,0)$ vero?

Esatto

Quindi ora mi chiedo c'è un modo a priori di capire se una matrice è ortonormalmente diagonalizzabile senza andare a fare tutti questi pasaggi? Oppure invece le uniche matrici orton. diagonalizzabili sono le simmetriche?

Domanda interessante.
Ci chiediamo se una matrice generica diagonalizzabile $A=PDP^(-1)$ possa avere una matrice P composta da autovettori due a due ortogonali.
Se così fosse allora potremmo normalizzare/riscalare i singoli autovettori che la compongono e sarebbero ancora autovettori di D.
Quindi $A=QDQ^(-1)$ dove Q è ortonormale ovvero gode della proprietà $Q^(-1)=Q^T$
Quindi $A^T=[QDQ^(-1)]^T=[QDQ^(T)]^T=QD^TQ^(T)=QDQ^(-1)=A$
Quindi $A^T=A$ ovvero A è simmetrica.

[Tommaso99]

bastava anche vedere che non apparteneva allo span di $(1,0)$ vero?

Esatto

Quindi ora mi chiedo c'è un modo a priori di capire se una matrice è ortonormalmente diagonalizzabile senza andare a fare tutti questi pasaggi? Oppure invece le uniche matrici orton. diagonalizzabili sono le simmetriche?

Domanda interessante.
Ci chiediamo se una matrice generica diagonalizzabile $A=PDP^(-1)$ possa avere una matrice P composta da autovettori due a due ortogonali.
Se così fosse allora potremmo normalizzare/riscalare i singoli autovettori che la compongono e sarebbero ancora autovettori di D.
Quindi $A=QDQ^(-1)$ dove Q è ortonormale ovvero gode della proprietà $Q^(-1)=Q^T$
Quindi $A^T=[QDQ^(-1)]^T=[QDQ^(T)]^T=QD^TQ^(T)=QDQ^(-1)=A$
Quindi $A^T=A$ ovvero A è simmetrica.

Quindi se non ho capito male il fatto che sia simmetrica è condizione sia suff che nec giusto?

[Bokonon]

Quindi se non ho capito male il fatto che sia simmetrica è condizione sia suff che nec giusto?

Perfavore, non quotare tutto.
Prova a risolvere il quesito che ho posto in questo thread
viewtopic.php?f=37&t=196948