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Non riesco a capire perché questa proposizione è vera: considerate le matrici $A in M_m (RR)$, $B in M_(m,n) (RR)$, $C in M_n (RR)$ si ha:

$rg(AB)=rg(B)=rg(BC)$.


Questa proposizione segue la definizione di matrici equivalenti a destra, a sinistra, e a destra e a sinistra. Quindi magari come ipotesi devo mettere anche che la matrice $B=ABC$; così si spiegherebbe, per la definizione di equivalenza a destra e a sinistra fra matrici, che $B=AB=BC$.

L'ipotesi che $B=ABC$ però non è esplicita, quindi non sono sicuro che la mia interpretazione sia corretta.

In generale $rg(AB)<=min{rg(A),rg(B)}$
Quindi quella relazione è vera se e solo se $AinGL_m(R)$ e $CinGL_n(R)$
In altre parole, A e C devono avere rango pieno/essere invertibili

Ho capito...

Grazie mille!