Let $S$ be a Riemannian submanifold of $M$ and $\gamma$ a curve in S. For any vector field $V$ tangent to $S$ along $\gamma$,
$$ D^M_t (V) = D^S_t (V) + II(\overset{\cdot}{\gamma}, V) N$$
Tuttavia penso che l'enunciato preciso sia
$$D^M_t ( d\varphi(V)) = d\varphi (D^S_t(V)) + II(\overset{\cdot}{\gamma}, V) N$$
dove $\varphi: S \to M$ è l'immersione.
Questo perchè, siccome $V$ è un campo vettoriale su $S$ lungo $\gamma$, non ci posso calcolare direttamente \( D_t^M (V) \) ma devo fare \( D_t^M(d\varphi(V)) \) , essendo adesso $d\varphi(V)$ un campo vettoriale su $M$ lungo $\varphi \cdot \gamma$. Inoltre, \( D_t^M(d \varphi(V)) \in T_{(\varphi \cdot \gamma)(t)} M \) e \( D^S_t(V) \in T_{\gamma(t)}S \) e quindi devo applicargli $d\varphi$.
So che si potrebbe considerare $T_{\gamma(t)}S$ come un sottospazio vettoriale di $T_{(\varphi \cdot \gamma)(t)}$ e estendere $V$ a $M$ identificandolo poi con la sua estensione.
Tuttavia vorrei sapere se quello che sto dicendo ha senso, e se ne avesse, avere una dimostrazione rigorosa di questo fatto.
