Il mio prof di algebra ha spiegato brevemente una cosa, che mi ha lasciato un po' perplesso, per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice. Ha detto appunto che calcolare il determinante con lo sviluppo di Laplace di \( \det ( A-\lambda I_n ) \) con matrici molto grandi diventa sconveniente, perché per una matrice \( A \in K^{n \times n} \) bisogna fare almeno \(n! \) operazioni aritmetiche dentro \( K \), dove \( K \) è il campo su cui è costruito lo spazio vettoriale. E ad esempio con una matrice \( A \in K^{1000 \times 1000} \), il numero di operazioni elementari da svolgere supererebbe il numero di particelle dentro l'universo e un computer se iniziasse oggi non avrebbe ancora finito di calcolarlo alla fine del'universo ( ). Se ho capito bene, dunque ad un certo punto si preferisce fare l''interpolazione polinomiale utilizzando la matrice di Vandermonde nel seguente modo
\[ \begin{pmatrix}
1 & \lambda_0 & \ldots & \lambda_0^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & \lambda_n & \ldots & \lambda_n^n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a_0\\
\vdots\\
a_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\det(A-\lambda_0I_n)\\
\vdots\\
\det(A-\lambda_nI_n)
\end{pmatrix} \]
E valutarlo in \( \lambda_i=i \) per tutti gli \( i=0,\ldots,n\) e diviene
\[ \begin{pmatrix}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & n & \ldots & n^n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a_0\\
\vdots\\
a_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\det(A)\\
\vdots\\
\det(A-nI_n)
\end{pmatrix} \]
Sono d'accordo che in questo modo si trova il polinomio caratteristico, ovvero si trovano i coefficienti del polinomio caratteristico, \( (a_0,\ldots,a_n) \). Però mi chiedo, come mai è più conveniente?? In questo modo dovrei calcolarmi \( n+1 \) determinanti e in più risolvere un sistema di \( n+1 \) equazioni a \( n+1 \) incognite. Invece calcolandosi "semplicemente" \( \det(A-\lambda I_n) \) mi calcolo un solo determinante e trovo direttamente il polinomio caratteristico.