Esercizio algebra estendere funzione ad applicazione lineare

[molleggino]

Ciao a tutti, dopo diverse settimane di studio di algebra sono incappato in questo esercizio e non ho la minima idea di quale sia il metodo risolutivo e non credo d iaver ben capito cosa il nocciolo dell'esercizio.

Sia r un numero reale arbitrario si supponga di avere un applicazione f:{r}->R^2

Per quali valori di r risulta possibile estendere la funzione F a una (o più) applicazione(i) lineare(i) su R?

[marco2132k]

Ciao. Per definizione, un'applicazione lineare è una funzione tra spazi vettoriali che [...]. Verifica per quali $r$ quell'insieme è uno spazio vettoriale sul corpo reale, con le consuete addizione e moltiplicazione. Poi, fatti tornare a mente questa definizione.

[molleggino]

Ciao. Per definizione, un'applicazione lineare è una funzione tra spazi vettoriali che [...]. Verifica per quali $r$ quell'insieme è uno spazio vettoriale sul corpo reale, con le consuete addizione e moltiplicazione. Poi, fatti tornare a mente questa definizione.

ciao marco e grazie per la risposta, si ricordo la condizione di linearità f(aw+bv)=af(v)+bf(w) con v,w vettori e a,b scalari.
Mi verrebbe da dire che per ogni r appartenente ad R è estendibile ad un applicazione lineare(?).
La cosa che non mi è ben chiara è questa notazione f:{r}->R^2 e il concetto di estendere una funzione ad un applicazione reale.

[marco2132k]

La notazione \( f\colon\{r\}\to\mathbb{R}^2 \) significa che \( f \) è una funzione dal singoletto \( \{r\} \) verso il piano \( \mathbb{R}^2 \). Uno spazio vettoriale è sostanzialmente una struttura costituita da quattro dati: un campo \( \mathbb{K} \), un insieme \( V \), e due applicazioni "addizione" e "moltiplicazione per scalare".

Credo che quando ti chiede di "estendere" \( f \) ad un'applicazione lineare, il tuo testo ti stia semplicemente domandando quando è possibile dire che una funzione da \( \{r\} \) al piano \( \mathbb{R}^2 \) (che presuppongo io pensato come lo spazio vettoriale "solito" \( \mathbb{R}^2 \), tanto è così in tutti gli esercizi), può essere considerata lineare.

Direi che, volendo dotare \( \{r\} \) della struttura di spazio vettoriale con le applicazioni di addizione e moltiplicazione solite, l'unica via possibile è \( r=0 \).

Nota che è \( S^\mathbf{1}\cong S \), dove \( S^\mathbf{1} \) è l'insieme delle funzioni di un insieme \( \mathbf{1} \) con un solo elemento in un insieme qualunque \( S \). Il simbolo \( {\cong} \) significa che sono in biiezione.

Tra la funzioni dello spazio vettoriale \( \{0\} \) in \( \mathbb{R}^2 \), quante sono lineari quindi?

EDIT: Questo vorrebbe rispondere a "quante sono le funzioni lineari da \( \{r\} \) a \( \mathbb{R}^2 \)?"; l'esercizio invece chiede "quanti sono gli \( r \) tali che ecc...".

[marco2132k]

Estendere vuol dire che data la tua $f:{r}\to \RR^2$ sai trovare un'altra funzione $F:\RR \to \RR^2$ tale che la restrizione di $F$ a $r$ coincida con $f$. In questo caso in particolare ti si dice che l'estensione $F$ deve pure essere lineare.

In effetti avevo pensato che avesse potuto chiedere questo... Ed è più probabile che sia così. Lascio comunque il messaggio, anche se non risponde alla domanda.

[molleggino]

No, soffermati sulla domanda che ti è stata fatta: quando ${r}, r\in\RR$ è uno spazio vettoriale?

Estendere vuol dire che data la tua $f:{r}\to \RR^2$ sai trovare un'altra funzione $F:\RR \to \RR^2$ tale che la restrizione di $F$ a $r$ coincida con $f$. In questo caso in particolare ti si dice che l'estensione $F$ deve pure essere lineare.

Grazie ad entrambi per le risposte!

Se ho capito la richiesta dell'esercizio in pratica, corregetemi se sbaglio, ponendo r=0 le funzioni che trasformano (0) in (0,0) di R^2 dovrebbero essere le uniche che soddisfano i prerequisiti prima di tutto trasformare il vettore nullo nel vettore nullo poi f(0+0)=f(0)+(0)=0 e f(a*0)=af(0)=0 (con a scalare). Visto che ponendo r diverso da 0 la somma e il prodotto cadranno fuori dal dominio.

quindi un applicazione f(x)->(x,x) oppure f(x)->(x^2,x^3) dovrebbe soddisfare le condizioni di linearità

[molleggino]

Va bene dire che per poter estendere una tale funzione deve essere $r=0$ e $f(r)=(0,0)$. Ma poi non tutte le estensioni sono lineari: $x\mapsto(x, x)$ va bene, $x\mapsto (x^2, x^3)$ no.

Scusami se ti disturbo ancora ma ho ancora un piccolo dubbio, perchè applicando la restrizione a {0} $x\mapsto (x^2, x^3)$ non sarà lineare? dovrebbe rispettare le condizioni di linearità, considerando come dominio per l'appunto solo {0}?

[marco2132k]

È l'estensione \( x\mapsto \left(x^2, x^3\right) \) che non è lineare; la sua restrizione \( 0\mapsto (0,0) \) è lineare, eccome.

[molleggino]

È l'estensione \( x\mapsto \left(x^2, x^3\right) \) che non è lineare; la sua restrizione \( 0\mapsto (0,0) \) è lineare, eccome.

Perfetto, Grazie per il chiarimento