Applicazioni lineari e matrice associata.

[3m0o]

Spulciando gli appunti di algebra 1, del semestre scorso, perché non mi ricordavo una definizione (che non è legata alla domanda), ho notato un appunto che aveva fatto la professoressa, che non ho più e dunque non posso chiederle, e non l'ho capito.
Disse:
Perché, data un applicazione lineare \( \varphi : V \rightarrow W \), dove \( V,W \) sono \( K \)-spazi vettoriali e la sua matrice \( (\varphi)_{B_V}^{B_W} \) relativa alle basi \( B_V \) e \(B_W \), e sia il vettore \( x \in V \), perché risulta \( (\varphi(x))_{B_W} = (\varphi)_{B_V}^{B_W} (x)_{B_V} \) dove \( (x)_{B_V} \) è un vettore colonna? E non \( (\varphi(x))_{B_W} = (x)_{B_V}^T (\varphi)_{B_V}^{B_W} \) dove \( (x)_{B_V}^T \) è il trasposto del vettore colonna.
La risposta è da ricercare nel fatto che data una funzione noi scriviamo \( f(x) \) ma alcuni matematici, in passato, avevano definito le funzioni con l'argomento a sinistra \( (x)f \) e dunque risultava poi che \( ((x) \varphi)_{B_W} = (x)_{B_V}^T (\varphi)_{B_V}^{B_W} \)
I due modi sono del tutto equivalenti.

Quello che non capisco è: cosa vuol dire definire le funzioni con l'argomento a sinistra e come questo possa cambiare il modo di vedere le applicazioni lineari sotto forma di matrici e vettori.

[dissonance]

In realtà la risposta è nella tua stessa domanda. Considerando \(x\in V, y\in W\) e \(f\colon V\to W\), se vuoi che l'equazione astratta \(f(x)=y\) corrisponda all'equazione in coordinate \(A\mathbf x=\mathbf y\), dove \(A\) è una matrice e \(\mathbf x, \mathbf y\) sono elementi di \(\mathbb K^n\), allora devi considerare \(\mathbf x, \mathbf y\) come vettori colonna.

Se invece li considerassi come vettori riga, l'equazione in coordinate diventerebbe \(\mathbf x A = \mathbf y\). Questa equazione è più strana, perché, nella versione astratta, siamo abituati a scrivere \(f(x)\), con la \(x\) a destra. Ma evidentemente in passato c'era qualcuno che scriveva \((x)f\), e per questo qualcuno sarebbe stato più naturale considerare i vettori come delle righe.