) non ho capito perché queste argomentazioni dimostrano il teorema, qualcuno potrebbe aiutarmi?Teorema 2.1 di Fedorov
Esistono esattamente 17 classi d'isomorfismo per un gruppo d'isometria di una tassellatura regolare.
"Dimostrazione":
Sia \( G = G_{ \mathcal{P}} = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)_{ \mathcal{P}} \) un gruppo di isometria di una tassellatura
Sia \( G^+ = G_{ \mathcal{P}} \cap\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)_{ \mathcal{P}}^{+} \subset G \)
Sia \( T_G = G_{ \mathcal{P}} \cap T(\mathbb{R}^2) \subset G^+ \)
Andremo a vedere che \( T_G \) è d'indice finito in \( G \), \( \begin{vmatrix} G/T_G \end{vmatrix} \leq 12 \)
E per dimostrare il teorema la strategia è la seguente:
- Studiare la struttura di \( T_G \)
- Dedurre la struttura di \( G^+ \)
- Dedurre la struttura di \( G \)
- Costruire una tassellatura regolare per ciascuno dei 17 tipi d'isometria.
In questo corso ci acconteremo di fare i primi due punti e andremo a dimostrare
Teorema 2.2 di Fedorov (per gruppo di rotazioni):
Esistono 5 classi d'isomorfismi possibili per il sottogruppo d'isometrie \( G^+ \subset G \) di un gruppo cristallografico.
Teorema: Esistono \( \gamma_0, \gamma_1 \in \mathbb{C} \) non \( \mathbb{R}\)-colineari tale che \( T_G = T(\Gamma)\) dove \( \Gamma= \mathbb{Z} \gamma_0 + \mathbb{Z} \gamma_1 \)
Dimostrazione di questo teorema:
Esistono in \( T_G \) due translazioni \( t_{\gamma_0}, t_{\gamma_1} \), con \( \gamma_0, \gamma_1 \in \mathbb{C} \) tale che
-\( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} \) è minimale tra i complessi rappresentanti delle translazioni non nulle di \( T_G \)
- \( \gamma_1 \not\in \mathbb{R}\gamma_0 \) e \( \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \) è minimale tra gli elementi non \( \mathbb{R}\)-colineari a \( \gamma_0 \)
\( T(\Gamma)=\{t_{\gamma}, \gamma \in \Gamma \} \)
E sia il parallelogramma fondamentale \( \mathbb{P}_0 = [\frac{-1}{2},\frac{1}{2}[ \gamma_0 + [\frac{-1}{2},\frac{1}{2}[ \gamma_1 \) e per tutti i \( \gamma \in \mathbb{C} \) tale che \( t_{\gamma} \in T_G \) allora \( \gamma = \gamma_0(\gamma) + \gamma - \gamma_0(\gamma) \)
Dove \( \gamma_0(\gamma) \in \Gamma \) e \( \gamma - \gamma_0(\gamma) \in \mathbb{P}_0 \).
Vogliamo dimostrare che \( \gamma - \gamma_0(\gamma) = 0 \),
Sia dunque \( \gamma - \gamma_0(\gamma) = x \gamma_0 + y \gamma_1 \), con \( x,y \in [\frac{-1}{2},\frac{1}{2}[ \)
Abbiamo pertanto che
\[ \begin{vmatrix} \gamma - \gamma_0(\gamma) \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} y \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2}( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix}) \leq \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \]
Se questa inegalità è stretta allora \( \gamma - \gamma_0(\gamma) \in \mathbb{R} \gamma_0 \Rightarrow y=0 \), allora
\[ \begin{vmatrix} \gamma - \gamma_0(\gamma) \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2} \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} \Rightarrow \gamma - \gamma_0(\gamma)=0 \]
Se abbiamo egalità
\( \Rightarrow \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \) dunque \( \begin{vmatrix} x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \Rightarrow x=y=- \frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow \gamma - \gamma_0(\gamma)= -\frac{1}{2} ( \gamma_0 + \gamma_1 ) \)
\[ \begin{vmatrix} \gamma - \gamma_0(\gamma) \end{vmatrix} = \frac{1}{2}( \begin{vmatrix} \gamma_0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix}) = \begin{vmatrix} \gamma_1 \end{vmatrix} \]
\( \Rightarrow \gamma_0 \) e \( \gamma_1 \) sono \(\mathbb{R}\)-colineari
\( \Rightarrow \) impossibile
\( \square \)
Struttura di \( G^+ \):
\( T_G = T(\Gamma) \), e consideriamo \( \operatorname{lin} : G^+ \rightarrow \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2) \simeq \mathbb{C}^1 = \{ \alpha \in \mathbb{C}, \begin{vmatrix} \alpha \end{vmatrix} = 1 \} \)
L'applicazione lineare che associa a \( g \in G^+ \) la sua parte lineare, \( \operatorname{lin}(g)=g_0 \).
Abbiamo che \( \ker( \operatorname{lin})=T(\Gamma) \)
Sia \( G_0^+ = \operatorname{lin}(G^+) \subset \mathbb{C}^1 \)
Teorema: Visto come sottogruppo di \( \mathbb{C}^1 \), \( G_0^+ \) puo essere uno dei seguenti gruppi
- il gruppo triviale \( \{1 \} \)
- \( \mathbb{\mu}_2 = \{ \pm 1 \} \)
- \( \mathbb{\mu}_3 = \{ 1, \omega_3, \omega_3^2 \} \)
- \( \mathbb{\mu}_4 = \{\pm 1,\pm i \} \)
- \( \mathbb{\mu}_6 = \pm \mathbb{\mu}_3 \)
Dove \( \omega_3 = - \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Dimostrazione:
Se \( G^+ = T_G \), \( G_0^+ = \{ 1 \} \) e abbiamo finito
Supponiamo che \( G^+ \) possiede una rotazione d'angolo \( \alpha \in \mathbb{C}^1 \) non triviale
\( r_{\alpha, \beta} : z \rightarrow \alpha z + \beta \)
\(T_G = T(\Gamma) \) dunque \( se \gamma \in \Gamma \)
\( r_{\alpha, \beta} \circ t_{\gamma} \circ r_{\alpha, \beta}^{-1}= t_{\alpha \gamma} \in G \)
Dunque \( t_{\alpha \gamma} \in T_G \Rightarrow \alpha \gamma \in \Gamma \)
\( \alpha \) ha la proprieta seguente \( \alpha \Gamma \subset \Gamma \)
Se facciamo un ragionamento con \( r_{\alpha, \beta}^{-1} = r_{\alpha^{-1}, \beta} \)
Otteniamo \( \alpha^{-1} \Gamma \subset \Gamma \Rightarrow \Gamma \subset \alpha \Gamma \)
Proprietà di \( \alpha \):
Se \( \alpha \in G_0^+ \) allora \( \alpha \Gamma= \Gamma \)
Vogliamo rinormalizare la rete \( \Gamma \), in \( \Gamma' = \mathbb{Z} 1 + \mathbb{Z} \gamma' \)
Dove \( \gamma' = \gamma_1 / \gamma_0 \), applicando a \( \Gamma \) un omotetia e una rotazione lineare.
Nella rete \( \Gamma ' \), 1 è la lunghezza minimale tra gli elementi di \( \Gamma' - \{0\} \) e \( \gamma' \) è la lunghezza minimale tra \( \Gamma' - \mathbb{R} \)
Siccome la moltiplicazione è commutativa in \( \mathbb{C} \) abbiamo che
\( \alpha \Gamma' = \alpha \frac{1}{\gamma_0} \Gamma = \frac{1}{\gamma_0} \alpha \Gamma = \Gamma' \)
Inoltre siccome \( 1 \in \Gamma' \) allora \( \alpha \in \Gamma ' \)
\( G_0^+ \subset \Gamma ' \), \( \alpha^{-1} = \bar{\alpha} \in \Gamma' \)
\( \Rightarrow \alpha + \bar{\alpha} = 2 \operatorname{Re}(\alpha) \in \Gamma ' \cap \mathbb{R} = \mathbb{Z} \)
Dunque visto che \( \alpha + \bar{\alpha} \in \mathbb{Z} \cap [-2,2] \) abbiamo che
\( \alpha \) è una radice di \( (X- \alpha)(X-\alpha^{-1} ) = X^2 - ( \alpha + \alpha^{-1}) X + 1 \)
Quindi abbiamo i seguenti polinomi possibili
- \( X^2 + 2X +1 \)
- \( X^2 + X +1 \)
- \( X^2 +1 \)
- \( X^2 - 1X +1 \)
- \( X^2 - 2X +1 \)
\( \alpha \) è una radice dell'unita d'ordine 1,2,3,4,6
\( \Rightarrow G_0^+ \) è finito e dunque ciclico, se \( \alpha \) un generatore di questo gruppo allora otteniamo
\( G_0^+ = \alpha^{\mathbb{Z} } \) che può essere uno dei seguenti gruppi
- il gruppo triviale \( \{1 \} \)
- \( \mathbb{\mu}_2 = \{ \pm 1 \} \)
- \( \mathbb{\mu}_3 = \{ 1, \omega_3, \omega_3^2 \} \)
- \( \mathbb{\mu}_4 = \{\pm 1,\pm i \} \)
- \( \mathbb{\mu}_6 = \pm \mathbb{\mu}_3 \)
Dove \( \omega_3 = - \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Dimostrazione del teorema di Fedorov ( per \( G^+ \) ):
Sia \( r \) una rotazione di \( G^+ \) d'angolo \( \omega \), massimale in \( G_0^+ \) e di centro \( z_r \).
Applichiamo alla tassellatura \( \mathcal{P} = ( \mathbb{P}, \operatorname{Is} ) \) una translazione \( t_{-z_r}(\mathcal{P}) =( \mathbb{P}- z_r, \operatorname{Is}' ) \)
Se \( \tilde{G} = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)_{ t_{-z_r}(\mathcal{P}} = t_{-z_r} \circ G \circ t_{z_r} \)
Abbiamo \( \tilde{G}^{+} = t_{-z_r} \circ G^+ \circ t_{z_r} \)
e abbiamo \( \tilde{\Gamma} = t_{-z_r} \circ \Gamma \circ t_{z_r} = \Gamma \)
Ma \( t_{-z_r} \circ r \circ t_{z_r} = r' \), e abbiamo che l'angolo di \( r' \) è \( \omega \) e di centro l'origine.
\( G \simeq \tilde{G} \) quindi non cambia le classi di isomorfismi
Siccome \( \omega \) è l'angolo che genera \( G_0^+ = \tilde{G}_0^+ \) e abbiamo \( \omega \in \Gamma ' \)
\( \Rightarrow \tilde{G}_0^+ \subset \tilde{G}^+ \Rightarrow \tilde{G}^+\) è generato da \( T(\tilde{\Gamma} ) \) e \( \tilde{G}_0^+ = \omega^{\mathbb{Z}} \)
