Immagine (applicazioni lineari)

[Salvy]

Salve a tutti, non capisco questa parte di un esercizio di algebra lineare:
data un applicazione lineare R^3--->R^3
f((x,y,z))=(2x+y,x+2y,z) trovare base e dim di ker f e di Im f

Riesco a trovare tutto, non capisco però perché l'immagine è tutto R^3 !

Le basi che riesco a trovare, dell'immagine, sono queste B={(2,1,0),(1,2,0),(0,0,1)}

Per essere, l'immagine tutta R^3, dovrei trovare una base canonica di R^3 , o meglio i vettori della base canonica di R^3, ma io non li trovo, trovo questi B={(2,1,0),(1,2,0),(0,0,1)}. Grazie

[Laika1969]

La base canonica e' normalizzata, la tua non lo è
I tuoi sono 3 vettori linearmente indipendenti, di lunghezza non unitaria.
Per generare uno spazio basta una base, non serve la canonica

[Salvy]

Perché l'immagine è R^3?

[Laika1969]

Perché è un isomorfismo, e trasforma basi in basi
Se hai calcolato il kernel, avrai pur visto che e zero
Avrai calcolato il rango avrai visto che è 3
Nullità + Rango= dim V

[Salvy]

Il rango è 3,non capisco perché è R^3 l'immagine!

[Laika1969]

Perché se il rango è 3 hai una base in im(V) di tre vettori linearmente indipendenti, e quindi una base di R3.
Vuoi la canonica? Normalizzali e la hai.

[Salvy]

Continui a non spiegarmi perché L'INTERA IMMAGINE È R^3

[Laika1969]

Sbagli rileggi quello che ho scritto, e' la terza volta che te lo spiego.

[Salvy]

Allora non vuoi capire "IL RISULTATO DEL LIBRO È CHE L'IMMAGINE È INTERAMENTE R^3" NON LO DICO IO LO DICE IL LIBRO, VOGLIO CAPIRE PERCHÉ È R^3 CI SEI ADESSO?

[gugo82]

@Salvy: Calmo.

Laika1969 ti ha risposto correttamente.
Purtroppo, tu non hai ragionato attentamente sulla questione, e ciò non è colpa di Laika1969.

Quindi, ragiona.
Cos’è una base di $RR^3$?
Haii bisogno proprio della base canonica per generare $RR^3$?