Forme bilineari, una domanda

Messaggioda maion » 12/03/2019, 18:37

Sera a tutti,

avrei una domanda da porvi anche se piuttosto sciocca. Ho iniziato ora a leggere riguardo forme bilineari, simmetriche e prodotti scalari.

Mi chiedevo se fosse possibile definire una qualche forma bilineare (e dunque una sua matrice associata) per due vettori tra loro linearmente dipendenti. Cioè in sostanza se è possibile in qualche modo definire una forma bilineare in una sola dimensione [o non esistono] ad esempio (ipotizzo) riducendo le matrici ad un solo elemento?


Vi ringrazio.
maion
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 63 di 172
Iscritto il: 05/12/2018, 18:01

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda Bokonon » 13/03/2019, 00:08

Beh anche i vettori sarebbero "monocomponenti", quindi scalari.
$a*k*b$ dove k è un reale qualsiasi e sarebbe anche il "prodotto scalare" generico di due numeri a e b. Non ha molto senso in $R$.
Comunque sia il prodotto scalare di due vettori lin. dipendenti si fa anche in spazi di dimensione $R^n$

Presi due vettori $a=(1,1)$ e $b=(3,3)=3a$, il prodotto scalare euclideo standard è $a_1b_1+a_2b_2=6$
La forma bilineare simmetrica associata è la matrice identità $ ( 1 \ \ 1 )( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )( ( 3 ),( 3 ) )=6 $

Rispetto al prodotto scalare $a_1b_1+a_2b_1+a_1b_2+2a_2b_2$ si ottiene 15
La forma bilineare simmetrica associata è $Q=( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) )$ quindi $ ( 1 \ \ 1 )( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) )( ( 3 ),( 3 ) )=15 $

In entrambi i casi $b=3a$ e in entrambi i casi $a*b=a*3a=3*||a||^2$
$||a||^2=2$ con la norma standard e $||a||^2=5$ con Q.

I due prodotti scalari non cambiano il fatto che a e b siano sempre lin. dip.
Mentre cambia il fatto che due vettori non ortogonali rispetto ad una norma potrebbero esserlo rispetto ad un'altra.
Prova a fare il prodotto scalare di $a=(1,1)$ e $b=(3,-2)$ standard e con Q...e dimmi cosa cambia.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 896 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda maion » 13/03/2019, 09:34

Buongiorno e grazie per la risposta.

Quanto dici mi torna realmente tutto bene e sono contento perché mi aiuta a riordinare le idee di quanto ho appena studiato e mi conferma che almeno ho capito giusto :lol: , diciamo che paradossalmente ho più facilità a comprenderlo per spazi $\RR^n , n>=2$, ma il mio dubbio nasceva più che altro per spazi R.

Il dubbio mi è sorto leggendo la dimostrazione che "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti", da questo allora ho pensato che in realtà in una dimensione non posso definire un prodotto scalare (cioè una forma bilineare simmetrica e definita positiva) tra gli oggetti di questo spazio vettoriale unidimensionale altrimenti sarebbe un assurdo.

Vado a precisare il perché: in sostanza dato che l'ortogonalità discende dalla costruzione di un prodotto scalare, se potessi definire un prodotto scalare in 1D (es: $\RR$) questo equivarrebbe ad affermare che introduco il concetto di ortogonalità e da questo discende che due vettori moltiplicati tra loro nello spazio R portanno dare zero e quindi saranno ortogonali. Tuttavia è un assurdo perché per il succitato teorema dimostrabile allora sarebbero due vettori linearmente indipendenti e in quanto tali sarebbero dei generatori di uno spazio vettoriale di dimensione $>=1$.

Dunque in R potranno al massimo esistere forme bilineari, certo (forse anche simmetriche), ma mai bilineari simmetriche definite positive (aka "prodotto scalare") poiché vale il fatto: "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti".
Mi sembra una intuizione corretta, ma se lo fosse non saprei dimostrarlo rigorosamente ho cercato molto ma non ho trovato nulla a riguardo.

E' giusto quanto dico o mi sfugge qualcosa?
maion
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 64 di 172
Iscritto il: 05/12/2018, 18:01

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda fmnq » 13/03/2019, 11:16

Una applicazione bilineare, per definizione, è una mappa $g : V\times W \to Z$ tale che $g(v,-)$ e $g(-,w)$ siano entrambe lineari; che problema c'è quando $V=W$ ha dimensione 1 e $Z$ è il campo $K$ su cui $V,W$ sono spazi vettoriali? L'insieme di tali $g$, in quel caso, è un onesto spazio vettoriale di dimensione 1, come ti sarà facile dimostrare, e quindi non c'è niente di "assurdo".
fmnq
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 288 di 764
Iscritto il: 03/10/2017, 23:14

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda maion » 13/03/2019, 11:34

Ok sulla forma bilinearemi torna, però nel post precedente non capisco cosa io sbagli nel ragionamento riguardo le forme bilineari simmetriche definite positive in dimensione 1.
Mi pare un assudro definire un prodotto scalare in dim. 1, poiché:

maion ha scritto:Il dubbio mi è sorto leggendo la dimostrazione che "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti", da questo allora ho pensato che in realtà in una dimensione non posso definire un prodotto scalare (cioè una forma bilineare simmetrica e definita positiva) tra gli oggetti di questo spazio vettoriale unidimensionale altrimenti sarebbe un assurdo.

Vado a precisare il perché: in sostanza dato che l'ortogonalità discende dalla costruzione di un prodotto scalare, se potessi definire un prodotto scalare in 1D (es: $\RR$) questo equivarrebbe ad affermare che introduco il concetto di ortogonalità e da questo discende che due vettori moltiplicati tra loro nello spazio R portanno dare zero e quindi saranno ortogonali. Tuttavia è un assurdo perché per il succitato teorema dimostrabile allora sarebbero due vettori linearmente indipendenti e in quanto tali sarebbero dei generatori di uno spazio vettoriale di dimensione $>=1$.

Dunque in R potranno al massimo esistere forme bilineari, certo (forse anche simmetriche), ma mai bilineari simmetriche definite positive (aka "prodotto scalare") poiché vale il fatto: "vettori ortogonali sono linearmente indipendenti".
Mi sembra una intuizione corretta, ma se lo fosse non saprei dimostrarlo rigorosamente ho cercato molto ma non ho trovato nulla a riguardo.


Questa faccenda mica mi torna troppo
maion
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 65 di 172
Iscritto il: 05/12/2018, 18:01

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda anto_zoolander » 13/03/2019, 14:03

Scusa prendi uno spazio di dimensione $1$, $V=<<x>>$, e una forma bilineare $b:VtimesV->RR$. Se esistessero due vettori $v,w$ ortogonali allora

$0=b(v,w)=b(lambdax,mux)=(lambda*mu)b(x,x)$

Ora nota che in uno spazio di dimensione uno se esiste un vettore isotropo allora la forma è nulla. Quindi una forma non nulla ha ogni vettore non isotropo.

A questo punto se $b$ è non nulla allora deve essere $lambda*mu=0$ e questo vale sse almeno uno dei due è zero.

Questo significa che non puoi avere due vettori non nulli che siano ortogonali, pertanto non c’è provlema con la lineare dipendenza.
Error 404
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 3778 di 9002
Iscritto il: 06/10/2014, 15:07
Località: Palermo

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda Bokonon » 13/03/2019, 14:15

Maion, anche solo ragionando geometricamente ti sarà chiaro. In $R$ tutti i vettori stanno sulla stessa "retta": non possono esserci due vettori (non nulli) ortogonali fra di loro perchè sono tutti lin. dip (nessuno "sbuca" fuori dalla retta)....ma questo non impedisce che si possa definire una forma bilineare anche in $R$ e sarà automaticamente simmetrica se ci pensi (la trasposta di uno scalare è lo scalare stesso).
Non è "banale" invece in spazi di dimensione $>1$ dove effettivamente ci sono anche vettori lin. indip. e in cui si definiscono ortogonali i vettori il cui prodotto scalare è zero...per cui la forma bilineare scelta effettivamente "definisce" quali vettori sono ortogonali e quali no. Questa è la sequenza logica.

Detto, questo, ci sono infinite forme bilineari e la più generica è del tipo g:V->W
Ma nel programma (al 99,9%) restringerai lo studio a forme g:V->V e simmetriche.
Se, per esempio, la matrice simmetrica associata è semidefinita positiva, significa che non ha rango massimo, quindi il suo kernel ha dimensione maggiore di zero. In questo caso, come sai, tutti i vettori v che si trovano nello span del nucleo sono tali che $<v*v> =0$ (rispetto a quella forma bilineare) perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).
Come vedi lo studio delle forme bilineari in generale è importante per via delle loro implicazioni.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 897 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda maion » 13/03/2019, 15:33

Ciao ancora, in realtà stavo affermando esattamente questo, cioè l'avevo intuito ma volevo mostrarlo in modo esplicito come fatto da voi. Ora mi è chiaro molte molte grazie!

Unico punto prima di passare all'ultimo dubbio che vorrei sottoporvi è questo:

Bokonon ha scritto:Se, per esempio, la matrice simmetrica associata è semidefinita positiva, significa che non ha rango massimo, quindi il suo kernel ha dimensione maggiore di zero.

Certo mi è ovvio.

In questo caso, come sai, tutti i vettori v che si trovano nello span del nucleo sono tali che $<v*v> =0$ (rispetto a quella forma bilineare) perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).


Questo meno :oops:.
In particolare mi sfugge il perché di:
1) $<v*v> =0$ come proprietà del nucleo rispetto alla forma bilineare.
2)"perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi)" in realtà capito il punto (1) ho mostrato che i vettori del nucleo sono ortogonali a se stessi,tuttavia il vettore isotropo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio quindi perché basta la condizione $<v*v> =0$ percapire che v è isotropo?

Dovrei saperlo ma non lo so, ammetto. Perché? Non riesco a capirlo.
Ultima modifica di maion il 13/03/2019, 15:46, modificato 3 volte in totale.
maion
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 66 di 172
Iscritto il: 05/12/2018, 18:01

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda dissonance » 13/03/2019, 15:38

Bokonon ha scritto: ci sono infinite forme bilineari e la più generica è del tipo g:V->W

Vuoi dire $g : V \times W \to K$.
dissonance
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 15121 di 27757
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Forme bilineari, una domanda

Messaggioda maion » 13/03/2019, 15:42

[OT @dissonance]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
In realtà la più generica non dovrebbe essere $g : V xxX \to K$ con V e X s.v su K.
Chiedo :oops:

[EDIT]: pardon dissonance, credevo avessi scritto $g : V xxV \to K$ non $g : V xxW \to K$ mi sono rimbecillito
maion
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 67 di 172
Iscritto il: 05/12/2018, 18:01

Prossimo

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite