Forme bilineari, una domanda

[Bokonon]

Prendiamo la matrice $ Q=( ( 1 , 2 ),( 2 , 4 ) ) $.
E' la matrice associata ad una forma bilineare in $R^2$, è simmetrica ed è semidefinita positiva perchè det(Q)=0, quindi un autovalore è zero. Il kernel di questa matrice è lo span di $(2,-1)$, quindi ha dimensione 1 (una retta).
Ora, se prendiamo un vettore di $R^2$ che sta su quella retta, ad esempio proprio $v=(2,-1)$, e ne calcoliamo la norma rispetto a Q otteniamo:
$ ( 2 \ \ -1 ) {( ( 1 , 2 ),( 2 , 4 ) ) ( ( 2 ),( -1 ) )} =0 $
Ho messo fra parentesi graffe il sistema omogeneo di cui v è appunto una soluzione, quindi il prodotto $Qv=0$ e la norma al quadrato è uguale a zero. Da cui segue che $<v, v> =0$ rispetto a Q, ovvero che v è ortogonale a se stesso.
Usando la norma euclidea o qualsiasi prodotto scalare non degenere e definito (vuoi positivo o negativo), l'unico vettore ortogonale a se stesso è il vettore nullo. Mentre in una forma semidefinita (e anche in quelle degeneri) esistono vettori che NON sono il vettore nullo ma che si comportano esattamente come lui, ovvero sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).

[Bokonon]

Vuoi dire $g : V \times W \to K$.

Ok, ma visto il livello della discussione stiamo ragionando sempre in $R$.
Non complicategli la vita! Almeno nelle fasi iniziali, è più utile dare il quadro della situazione affinchè maion possa orientarsi.
Solo dopo starà a chiedersi cose come "chissà quale potrebbe essere un esempio non banale di prodotto scalare in un campo con corpo di caratteristica 2".
E in effetti la domanda è concreta, perchè sto approffittando di questo thread per chiedervelo!
Non riesco davvero ad immaginarmi quali "oggetti" potrebbero essere un esempio valido in un campo del genere.

[maion]

Usando la norma euclidea o qualsiasi prodotto scalare non degenere e definito (vuoi positivo o negativo), l'unico vettore ortogonale a se stesso è il vettore nullo. Mentre in una forma semidefinita (e anche in quelle degeneri) esistono vettori che NON sono il vettore nullo ma che si comportano esattamente come lui, ovvero sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).

Questo mi è chiaro devo dire, forse anche perché ci ho "perso" tutta la girnata di ieri per digerirlo, però sì mi ha stupito ed esilarato molto.

Ti ringrazio per l'esempio portato, però più che un esempio volevo chiedere il perché in generale valesse la tua affermazione seguente:

In questo caso, come sai, tutti i vettori v che si trovano nello span del nucleo sono tali che $<v*v> =0$ (rispetto a quella forma bilineare) perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi).

Per questo scrivevo:
In particolare mi sfugge il perché di..
1) $<v*v> =0$ come proprietà del nucleo rispetto alla forma bilineare.
2)"perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi)" in realtà capito il punto (1) ho mostrato che i vettori del nucleo sono ortogonali a se stessi,tuttavia il vettore isotropo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio quindi perché basta la condizione $<v*v> =0$ per capire che v è isotropo?

Cioè ho in mente più o meno chiaramente il concetto di isotropo ecc, solo non ho capito l'affermazione

[dissonance]

Non complicategli la vita!

Lungi da me complicare la vita a nessuno, ma una cosa è scrivere V x W e un'altra è V - > W, era là il mio commento.

Quanto ai campi astratti, so che sono cose che si usano in certi ambiti della teoria dei numeri (numeri p-adici), e in altri ambiti ancora dei quali non so assolutamente nulla.

[Bokonon]

In particolare mi sfugge il perché di..
1) $<v*v> =0$ come proprietà del nucleo rispetto alla forma bilineare.
2)"perciò esistono vettori diversi dal vettore nullo che sono ortogonali a se stessi (vettori isotropi)" in realtà capito il punto (1) ho mostrato che i vettori del nucleo sono ortogonali a se stessi,tuttavia il vettore isotropo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio quindi perché basta la condizione $<v*v> =0$ percapire che v è isotropo?

1) scusami ma ti ho anche messo in evidenza con le parentesi graffe il $Qv=0$
Torna con la mente ai sistemi omogenei. Se v appartiene al nucleo di Q, allora è una soluzione del sistema $Qv=0$, no?
Quindi quando fai $v^TQv=v^T*0=0$, no?
2) $<v,v> =0$ è la definizione di vettore isotropo. Che poi anche $<w,v> =0$, con w che non appartiene al nucleo di Q, mi dice solo che sono perpendicolari. Non è un fatto particolarmente distintivo.
Se ti dico $<w,v> =0$ rispetto a un generico Q sono perpendicolari e ti chiedo qualcosa su Q, non puoi dirmi nulla di preciso, no?
Due vettori distinti perpendicolari li trovi per qualsiasi forma bilineare simmetrica, no?
Se invece ti dico $<v,v> =0$ rispetto a Q con v diverso dal vettore nullo, allora invece mi saprai dire qualcosa su Q. Che è un prodotto scalare degenere oppure che Q è semidefinita. No?
Sapere che esistono vettori isotropi è un tratto "distintivo". Sapere che esistono vettori perpendicolari, no.

[maion]

Eh hai ragione anche tu! Domanda stupida, dovevo arrivarci.

Mi pare chiaro ora
Grazie mille!

[Bokonon]

Lungi da me complicare la vita a nessuno, ma una cosa è scrivere V x W e un'altra è V - > W, era là il mio commento.

Ops, non me ne ero accorto manco rileggendolo.
Hai perfettamente ragione.

Quanto ai campi astratti, so che sono cose che si usano in certi ambiti della teoria dei numeri (numeri p-adici), e in altri ambiti ancora dei quali non so assolutamente nulla.

Figurati per me! Sono troppo astratti.

[fmnq]

Non complicategli la vita!

Lungi da me complicare la vita a nessuno, ma una cosa è scrivere V x W e un'altra è V - > W, era là il mio commento.

Quanto ai campi astratti, so che sono cose che si usano in certi ambiti della teoria dei numeri (numeri p-adici), e in altri ambiti ancora dei quali non so assolutamente nulla.

Cos'è un "campo astratto" (e per contro, cos'è un campo concreto)?

[dissonance]

Voglio dire, campi diversi da R e C e Q. Astratto non era l'aggettivo giusto. Ma

[Bokonon]

Cos'è un "campo astratto" (e per contro, cos'è un campo concreto)?

Molto zen e come in tutti paradossi zen la soluzione è una sua volta una domanda.
Sapresti darmi un esempio concreto di spazio con caratteristica 2?
Dico davvero...