sia $M$ una varietà Riemanniana compatta (chiusa e senza bordo) $2$-dimensionale. Allora su di essa abbiamo la distanza indotta dalla metrica
\[ d(x,y) = \inf \biggl \{ \int_0^1 \| \dot{\gamma}(t) \| \mid \gamma \text{ è una curva } C^{\infty} \text{ con } \gamma(0)=x \text{ e } \gamma(1) = y \biggr \} \]
Allora ha senso considerare le misure di Hausdorff \( \mathcal{H}^k \) indotte da tale distanza. In particolare si può dimostrare che \( \mathcal{H}^2 \) coincide con la misura di volume Riemanniano.
Consideriamo ora un $x \in M$ e un $0< r < \text{inj}(M)/2 $; è dunque ben definito il numero reale
\[ \mathcal{H}^1 (\partial B(x,r) ) \]
Avrei bisogno di una dimostrazione o di una referenza per il fatto che
Esiste una costante $C>0$ tale che
\[ \mathcal{H}^1 (\partial B(x,r) ) \le Cr \]
Magari è banale ma non essendo molto a mio agio nel contesto Riemanniano vorrei avere delle certezze!
Grazie in anticipo!
