Seconda domanda sulle forme bilineari

[maion]

Ri-buonpomeriggio,

volevo porre questa seconda domanda riguardo le forme bilineari nell'altra discussione, tuttavia ho visto che ha preso una strada più lunga del previsto e credo appesantirebbe troppo l'altra discussione per nulla. Quindi, essendo una domanda a parte, forse conviene parlare in un post dedicato.

La mia domanda viene, manco a dirlo, dallo studio delle forme bilineari , e come di la mi è sorto un un dubbio che non riesco a formalizzare da solo.
Mi chiedevo se per ogni forma bilineare simmetrica definita positiva valga sempre un "Pitagora generalizzato", cioè a "parolacce" dato che vettori ortogonali sono sempre linearmente indipendenti, allora, dopo aver introdotto una forma bilineare simmetrica definita positiva posso scomporre il vettore in componenti e mi pare sempre possibile definire una sorta di pitagora sulle componenti.

E in modo contrario mi pare di intuire che non possa succedere che esista un "pitagora generalizzto" per bilineari semidefinite questo per la faccenda che ho un vettore isotropo.

Spero abbiate voglia di spiegarmi meglio anche questo
grazie per i vostri aiuti.

[dissonance]

Invece che a parolacce, prova a formulare la congettura per bene e poi vediamo se è vera o no.

[fmnq]

Il teorema di Pitagora per una forma hermitiana $h : V\times V\to CC$ diventa questo enunciato:

se \(\Re h(v,w)=0\) per due vettori $v,w\in V$, allora \(h(v+w,v+w)=h(v,v) + h(w,w)\).

In particolare, se la forma è reale, questo significa che quando $v,$ sono $h$-ortogonali, si ha \(h(v+w,v+w)=h(v,v) + h(w,w)\).

[maion]

Sostanzialmente mi sono reso conto che:

ad esempio definendo un prodotto scalare detto "standard" del tipo:
forma bilineare simmetrica definita positiva tale che $\phi(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$

a questa posso associare in qualunque base io prenda in $R^2$ una matrice che la rappresenti (matrice associata), ogni matrice sarà simmetrica e definita positiva per qualunque base.
Inoltre se x=y si ha $\phi(x,x)=x_1^2+x_2^2$(*)

esempio se voglio scomporre il vettore $(3,2)$ nella base $(1,0),(0,1)$ posso, come noto, usare il prodotto scalare:

$(3,2)*((1,0),(0,1))*(1,0)=3$
$(3,2)*((1,0),(0,1))*(0,1)=2$

Inoltre vale (*)
$(3,2)*((1,0),(0,1))*(3,2)=13$

La cosa interessante è che se prendo una matrice che rappresenta tale prodotto scalare, ad esempio rispetto a una base $(1,1),(0,1)$

Nel mio esempio la matrice che la rappresenta sarà (calcoli non errrati permettendo): $((2,1),(1,1))$

Mettiamo di scomporre il vettore che prima era (3,2) rispetto alla base canonica; ora sarà: $(2,1)$ il vettore nella nuova base (ho applicato la matrice cambiamento di base per ottenerlo)

E di nuovo:
$(2,1)*((2,1),(1,1))*(2,1)=13$, ovviamente come atteso.

Inoltre se volessi trovare le componenti rispetto a quello che era (0,1) nella vecchiabase e che ora è: (1,-1) posso farlo applicando di nuovo il prodotto scalare:
$(2,1)*((2,1),(1,1))*(1,-1)=2$

e così anche per (1,0) che nella nuova base è: $(0,1)$

$(2,1)*((2,1),(1,1))*(0,1)=3$

lecomponenti che aspettavo.

In pratica dato il prodotto scalare posso sempre usare le matrici rappresentative di tale prodotto per una base e scomporre un vettore nelle sue componenti rispetto a due vettori ortogonali rispetto a tale prodotto scalare e vale $\phi(x,x)=x_1^2+x_2^2$ che generalizzando sarebbe: $sum_(i=0)^nc_i=<x,x>$

Da ciò, mi chiedevo se una cosa del genere valesse:
1) per ogni forma bilineare simmetrica definita positiva il poter scomporre in componenti in tale modo (cioé non solo per il prodotto scalare e il concetto di ortogonalità ad esso associato ma per ogni ortogonalitàdovuta all'introduzione di una forma bilineare simmetrica definita positiva).
2) E nel caso valesse per 1 se l'unico caso in cui non vale è per forme bilineari in cui vi è un vettore isotropo. Tipo le semidefinite (cioè se il problema per cui non funziona risiede nel vettore isotropo)

[maion]

Se non sono stato chiaro ditemelo che provoa riformulare. Voglio proprio capirla questa faccenda

[dissonance]

Francamente, non si capisce quasi niente della tua ultima domanda. Ma credo di intuire cosa tu intenda. Hai uno spazio vettoriale \(V\) con una forma bilineare \(\langle, \rangle\), una base \(\{b_1, b_2,\ldots, b_n\}\), e quindi una decomposizione
\[
v=v_1b_1+v_2b_2+\ldots+v_nb_n,\qquad v_j\in \mathbb K, \]
del generico vettore \(v\in V\). La tua domanda è: è possibile che i coefficienti \(v_j\) siano espressi in termini di \(\langle v, b_j\rangle\)? La risposta è: si, se la base è ortonormale, il che implica, in particolare, che non ci può essere nessun vettore isotropo;
\[
\langle b_i, b_j\rangle=\begin{cases} 1, & i=j, \\ 0, & i\ne j.\end{cases}\]
Se la base è ortonormale allora, come è facile verificare,
\[
v_j=\langle v, b_j\rangle.\]
Si può estendere facilmente alle basi ortogonali, in cui \(\langle b_i, b_j\rangle=0\) se \(i\ne j\) ma bisogna richiedere che  \(\langle b_i, b_i\rangle \ne 0\). Se ci sono vettori isotropi, nisba.

[maion]

Grazie per la risposta

Esattamente,chiedevo proprio quello. Se il punto per far tornare una scomposizione in componenti sfruttando il prodotto scalare fosse la NON presenza del vettore isotropo e se questa fosse una consizione per una qualuncue forma bilieare simmetrica (e dunque il fatto che fosse definita positiva). E mi par di capire sia proprio così dalla tua risposta.

Il passo successivo alla domanda era se anche per qualunque tipo di forma bilineari definite positive e simmetriche nel medesimo spazio potesse valere una scomposizione in componenti del genere sfrutando la forma bilineare che mi introduce il concetto di ortogonalità (cioè introducendo il concetto di ortogonalità diversa dal prodotto scalare standard $\phi(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$ se si potesse fare la scomposizione), mi pare di si anche questo. Giusto?

[dissonance]

Ho già risposto a questa domanda nel mio post precedente. Lì, il simbolo \(\langle, \rangle\) denota una qualsiasi forma bilineare.

Cerca di rileggerti prima di postare. Hai la tendenza a scrivere periodi molto lunghi e eccessivamente complicati, si capisce poco.

[maion]

Grazie dissonance, cercherò di migliorare in tal senso

[dissonance]

Prego, di nulla. Inoltre, come nella storia del bue che dice "cornuto!" all'asino, adesso che rileggo io il mio post precedente mi accorgo che suona un po' antipatico. Non era mia intenzione. Buona giornata