Cambiare punto di vista

[Pigreco2016]

Ho un luogo geometrico del piano cartesiano rappresentato dalla seguente equazione:
$y^2+ax^2+bx+c=0$ con $a \!= 0$ e $a,b,c$ scelti in maniera tale da rappresentare un luogo a punti reali!
Noto immediatamente che ho una simmetria rispetto all'asse $x$ e una simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse $y$.
Mi bastano queste due simmetrie per affermare che l'asse $x$ oppure l'asse $y$ interseca due volte questo luogo??? Quella che mi interessa è una motivazione geometrica e non una motivazione algebrica (che sfrutterebbe il fatto di fare il sistema e verificarlo direttamente con i calcoli).

[Bokonon]

La spiegazione geometrica si trova usando l'algebra lineare e non è vero in generale che l'asse x o y intersecano sempre la conica due volte.

Nel caso specifico, assumendo $a!=0$ possono darsi i seguenti casi:

1) Se $b^2=4ac$ allora è una conica degenere. E se $a=c$ sono due rette.

2) Se $b^2!=4ac$ allora:
a) se $a>0$ e $a!=1$ allora è un ellisse
b) se $a=1$ allora è una circonferenza
c) se $a<0$ allora è un'iperbole

[dissonance]

Ho un luogo geometrico del piano cartesiano rappresentato dalla seguente equazione:
$y^2+ax^2+bx+c=0$ con $a \!= 0$ e $a,b,c$ scelti in maniera tale da rappresentare un luogo a punti reali!
Noto immediatamente che ho una simmetria rispetto all'asse $x$ e una simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse $y$.
Mi bastano queste due simmetrie per affermare che l'asse $x$ oppure l'asse $y$ interseca due volte questo luogo??? Quella che mi interessa è una motivazione geometrica e non una motivazione algebrica (che sfrutterebbe il fatto di fare il sistema e verificarlo direttamente con i calcoli).

Le due simmetrie da sole non ti possono bastare, perché, ad esempio, \(x^2y^2=1\) le verifica tutte e due ma non interseca gli assi in nessun punto. (Nota: questa non è una conica, ma una quartica).

Devi proprio fare qualche conto sfruttando l'espressione del luogo geometrico che hai. Ma non è difficile. Se \(c> 0\), ponendo \(x=0\) vedi subito che esistono due intersezioni con l'asse delle \(y\): \((0, \sqrt{c})\) e \((0, -\sqrt c)\). Se \(c\le 0\), bisogna ragionare sull'equazione dell'intersezione con l'asse delle \(x\), ovvero
\[
ax^2+bx+c=0.\]