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Spazio vettoriale

16/03/2019, 18:24

[geogebra][/geogebra] Potete dirmi se va bene? Si deve verificare se è uno spazio vettoriale
$Y={a_0+a_1x+a_0a_1x^2|a_0,a_1$ ∈ R} ∈ $R^2[x]$
1) vettore nullo ∈ y infatti se $a_0=a_1=0$ si ottiene (0,0,0)

2) se sommo $a_0+a_1x+a_0a_1x^2 + a’_0+a’_1x+a’_0a’_1x^2$ ottengo $(a_0+a’_0)+(a_1+a’_1)(2x)+(a_0a_1+a’_0a’_1)(2x^2) $ che ∈ $R^2[x]$

3) $k(a_0+a_1x+a_0a_1x^2)=ka_0+Ka_1x+Ka_0a_1x^2$ ∈ in $k^2[x]$
È giusto?

Re: Spazio vettoriale

16/03/2019, 20:17

Si, e' giusto. E' uno spazio vettoriale.
Ma non appartiene a quell'anello
Ultima modifica di Laika1969 il 16/03/2019, 23:03, modificato 1 volta in totale.

Re: Spazio vettoriale

16/03/2019, 21:48

No che non è giusto: non ti basta verificare che ciò che ottieni stia in $R_2[x]$ (o meglio in $R_{\le2}[x]$, dato che $R_2[x]$ non è uno spazio vettoriale).
Perché un polinomio appartenga a $Y$ deve succedere che il coefficiente di $x^2$ sia il prodotto dei coefficienti di $x^0$ e $x^1$. Chiaramente questa non è una proprietà conservata per somma e prodotto per uno scalare.

Re: Spazio vettoriale

16/03/2019, 22:18

Prediamo due polinomi $P(x)=a_0+a_1x+a_0a_1x^2$ e $Q(x)=b_0+b_1x+b_0b_1x^2$
$P(x)+Q(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_0a_1+b_0b_1)x^2$

Ma è vero $(a_0+b_0)(a_1+b_1)=(a_0a_1+b_0b_1)$ ?

Re: Spazio vettoriale

17/03/2019, 00:36

Bokonon ha scritto:Prediamo due polinomi $P(x)=a_0+a_1x+a_0a_1x^2$ e $Q(x)=b_0+b_1x+b_0b_1x^2$
$P(x)+Q(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_0a_1+b_0b_1)x^2$

Ma è vero $(a_0+b_0)(a_1+b_1)=(a_0a_1+b_0b_1)$ ?

No

Re: Spazio vettoriale

17/03/2019, 01:11

Quindi?

Re: Spazio vettoriale

17/03/2019, 09:40

Bokonon ha scritto:Quindi?

Non è uno spazio vettoriale
E per il prodotto?

Re: Spazio vettoriale

17/03/2019, 11:40

Anche per il prodotto le cose non vanno bene: in generale infatti $ka_0ka_1\neka_0a_1$.
Comunque basta far vedere che una sola proprietà non valga per dire che non è uno spazio vettoriale.

Re: Spazio vettoriale

17/03/2019, 17:03

arnett ha scritto:Anche per il prodotto le cose non vanno bene: in generale infatti $ka_0ka_1\neka_0a_1$.
Comunque basta far vedere che una sola proprietà non valga per dire che non è uno spazio vettoriale.


Scusa mentre quest’altro
${a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,2)}$
Per vedere che uno spazio vettoriale ho sommato
P=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,2)
Q=e(1,0,1)+f(0,1,1)+g(1,1,2)
Da ciò P+Q=(a+e)2(1,0,1)+(b+f)2(0,1,1)+(c+g)2(1,1,2)
Poi ho fatto:
K•P=ka(1,0,1)+kb(0,1,1)+kc(1,1,2)
È giusto?
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