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linearmente chiuso

MessaggioInviato: 17/03/2019, 10:55
da sara09
buongiorno mi aiutate su questo esercizio devo verificare se è linearmente chiuso:
T=$ {a(2,1,-1)+(1,0,1)|a ∈R } ⊆ ($R^3$)

da cio ho che 0 non appartiene a T perché se a= 0 avrò:
(0,0,0)+(1,0,1)=(1,0,1).
percui non è linearmente chiuso giusto?

Re: linearmente chiuso

MessaggioInviato: 17/03/2019, 13:39
da marco2132k
Scusami la domanda, ma che vuol dire "linearmente chiuso"?

Interpretando il tuo esercizio come "verifica che \( T \) è uno spazio vettoriale", il modo in cui sei arrivata alla conclusione è sbagliato.

Re: linearmente chiuso

MessaggioInviato: 17/03/2019, 13:39
da billyballo2123
È corretto dire che non è linearmente chiuso, ma la tua spiegazione non è corretta!
Per essere linearmente chiuso, ogni combinazione lineare di elementi dell'insieme deve appartenere all'insieme, quindi (come dici tu) il vettore nullo deve appartenere all'insieme.
In generale però se $T=\{amathbf{v}+\mathbf{w}|a\in\mathbb{R}\}$, se anche fosse $\mathbf{w}\ne \mathbf{0}$, non è sufficiente per dire che il vettore nullo non appartiene all'insieme. Devi dimostrare che l'equazione $a\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ non ha soluzioni.
Ad esempio ponendo $\mathbf{v}=(2 \ 0 \ 1)^t$ e $mathbf{w}=(4 \ 0 \ 2)^t$ otteniamo che $T$ è un insieme linearmente chiuso.

Re: linearmente chiuso

MessaggioInviato: 17/03/2019, 14:29
da sara09
marco2132k ha scritto:Scusami la domanda, ma che vuol dire "linearmente chiuso"?

Interpretando il tuo esercizio come "verifica che \( T \) è uno spazio vettoriale", il modo in cui sei arrivata alla conclusione è sbagliato.


T e' detto linearmente chiuso se :
(U+V) appartiene a T
(U•V) appartiene a T

Re: linearmente chiuso

MessaggioInviato: 17/03/2019, 17:10
da Bokonon
sara09 ha scritto:T e' detto linearmente chiuso se :
(U+V) appartiene a T
(U•V) appartiene a T


No sara!
Innanzitutto, concordo anch'io sul fatto che l'espressione "linearmente chiuso" non sia appropriata.
Uno spazio vettoriale deve essere chiuso rispetto alla somma (ovvero la somma di due elementi qualsiasi deve dare un nuovo elemento che appartenga al medesimo spazio) e deve essere chiuso rispetto al prodotto per uno scalare (ovvero moltiplicando qualasiasi vettore per un "numero" deve uscire fuori un nuovo vettore che appartenga al medesimo spazio).
Tu hai scritto che deve essere chiuso rispetto al prodotto scalare, che è un'altra cosa e non è vero a meno che lo spazio in questione non sia $R^1$.
Infine uno spazio vettoriale deve contenere l'elemento neutro alla somma, ovvero il vettore nullo.

L'idea per risolvere l'esercizio è corretta ma come ti hanno fatto notare è l'esecuzione che non è "precisa".
Guardiamo il sottospazio di $R^3$ in questione dal punto di vista geometrico: è una retta che passa per il punto P=(1,0,1) di direzione (2,1,-1). Si possono dare due sole casisitiche:
a) P è contenuto nello span, quindi la retta passa per l'origine = è uno spazio vettoriale (come si dimostra facilmente).
b) P non è contenuto nello span, quindi la retta non passa per l'orgine = non è uno spazio vettoriale perchè non contiene l'elemento neutro (e non solo)

Quindi come ti hanno detto devi mettere in evidenza la b)
Il sottospazio in questione è dato da tutti i punti (x,y,z) tali che:
$ { ( x=2a+1 ),( y=a ),( z=1-a ):} $
Contiene il vettore nullo? controlliamo ponendo a zero tutte e tre le componenti e otteniamo che:
$a=-1/2$ $a=0$ e infine $a=1$
Possono essere vere tutte e tre contemporaneamente? No. Quindi il punto P non si trova nello span di a(2,1,-1).
La retta non passa per l'origine e quinbdi non è uno spazio vettoriale. Inutile procedere con le chiusure rispetto alla somma e al prodotto (che sarebbero entrambe false).

Re: linearmente chiuso

MessaggioInviato: 17/03/2019, 17:12
da sara09
billyballo2123 ha scritto:È corretto dire che non è linearmente chiuso, ma la tua spiegazione non è corretta!
Per essere linearmente chiuso, ogni combinazione lineare di elementi dell'insieme deve appartenere all'insieme, quindi (come dici tu) il vettore nullo deve appartenere all'insieme.
In generale però se $T=\{amathbf{v}+\mathbf{w}|a\in\mathbb{R}\}$, se anche fosse $\mathbf{w}\ne \mathbf{0}$, non è sufficiente per dire che il vettore nullo non appartiene all'insieme. Devi dimostrare che l'equazione $a\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ non ha soluzioni.
Ad esempio ponendo $\mathbf{v}=(2 \ 0 \ 1)^t$ e $mathbf{w}=(4 \ 0 \ 2)^t$ otteniamo che $T$ è un insieme linearmente chiuso.

Non ho capito c’è per essere linearmente chiuso devo dimostrare se è chiuso rispetto la somma e il prodotto ma in questo caso come faccio?

Re: linearmente chiuso

MessaggioInviato: 25/03/2019, 01:32
da billyballo2123
sara09 ha scritto:Non ho capito c’è per essere linearmente chiuso devo dimostrare se è chiuso rispetto la somma e il prodotto ma in questo caso come faccio?

In questo caso non puoi dimostrare che è linearmente chiuso, dato che non lo è.
Se un sottoinsieme è linearmente chiuso, contiene obbligatoriamente il vettore nullo, quindi per far vedere che non è linearmente chiuso basta mostrare che non contiene il vettore nullo. In altre parole, come dice Bokonon, devi dimostrare che il sistema
\[
a
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
, \qquad a\in \mathbb{R}
\]
non ha soluzioni.