Spazio di nullità, positività e negatività
Inviato: 18/03/2019, 21:22Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione finita su \( \mathbb{R} \) e sia \( \left \langle \cdot, \cdot \right \rangle \) una forma bilineare simmetrica su \( V \). Lo spazio di nullità è lo spazio \( V_0 := \{ v \in V \mid \left \langle v, x \right \rangle = 0 , \forall x \in V \} \)
Dimostrare che \( V \) ammette una decomposizione in somma diretta
\[ V_0 \oplus V^+ \oplus V^- \]
Dove \( V^+ \) e \( V^- \) sono dei sottospazi vettoriali tali che
\[ \left \langle v, v \right \rangle > 0 , \forall v \in V^+ - \{0 \} \]
\[ \left \langle v, v \right \rangle < 0 , \forall v \in V^- - \{0 \} \]
Io ho pensato a questo:
In quanto \( V \) è un \( \mathbb{R} \)-spazio vettoriale e ponendo \( \dim V = n \), abbiamo che \( \operatorname{char}(\mathbb{R}) =0 \) e in particolare \( \operatorname{char}(\mathbb{R}) \neq 2 \) dunque \( V \) possiede una base ortogonale.
Sia dunque \( \mathcal{B}=\{ v_1, \ldots, v_n \} \) una base ortogonale di Sylvester di \( V \), abbiamo che \( \dim V_0 = \begin{vmatrix} \{ 1 \leq j \leq n \mid \left \langle v_j, v_j \right \rangle = 0 \} \end{vmatrix} := i_0\).
E allo stesso modo per il teorema di Sylvester risulta che \( \dim V^+ = \begin{vmatrix} \{ 1 \leq j \leq n \mid \left \langle v_j, v_j \right \rangle > 0 \} \end{vmatrix} := i_+\) e \( \dim V^- = \begin{vmatrix} \{ 1 \leq j \leq n \mid \left \langle v_j, v_j \right \rangle < 0 \} \end{vmatrix} := i_-\), chiaramente dunque \( i_0 + i_+ + i _- = n \) e pertanto abbiamo che
\( n= \dim V = \dim V_0 + \dim V^+ + \dim V^- = i_0 + i_+ + i _- \) e questo dimostra che
\[ V_0 \oplus V^+ \oplus V^- \]
Pensate possa andar bene?
(Edit) Pardon, ho scritto \( \operatorname{char}(V) \), ma intendevo dire \( \operatorname{char}(\mathbb{R}) \)
Dimostrare che \( V \) ammette una decomposizione in somma diretta
\[ V_0 \oplus V^+ \oplus V^- \]
Dove \( V^+ \) e \( V^- \) sono dei sottospazi vettoriali tali che
\[ \left \langle v, v \right \rangle > 0 , \forall v \in V^+ - \{0 \} \]
\[ \left \langle v, v \right \rangle < 0 , \forall v \in V^- - \{0 \} \]
Io ho pensato a questo:
In quanto \( V \) è un \( \mathbb{R} \)-spazio vettoriale e ponendo \( \dim V = n \), abbiamo che \( \operatorname{char}(\mathbb{R}) =0 \) e in particolare \( \operatorname{char}(\mathbb{R}) \neq 2 \) dunque \( V \) possiede una base ortogonale.
Sia dunque \( \mathcal{B}=\{ v_1, \ldots, v_n \} \) una base ortogonale di Sylvester di \( V \), abbiamo che \( \dim V_0 = \begin{vmatrix} \{ 1 \leq j \leq n \mid \left \langle v_j, v_j \right \rangle = 0 \} \end{vmatrix} := i_0\).
E allo stesso modo per il teorema di Sylvester risulta che \( \dim V^+ = \begin{vmatrix} \{ 1 \leq j \leq n \mid \left \langle v_j, v_j \right \rangle > 0 \} \end{vmatrix} := i_+\) e \( \dim V^- = \begin{vmatrix} \{ 1 \leq j \leq n \mid \left \langle v_j, v_j \right \rangle < 0 \} \end{vmatrix} := i_-\), chiaramente dunque \( i_0 + i_+ + i _- = n \) e pertanto abbiamo che
\( n= \dim V = \dim V_0 + \dim V^+ + \dim V^- = i_0 + i_+ + i _- \) e questo dimostra che
\[ V_0 \oplus V^+ \oplus V^- \]
Pensate possa andar bene?
(Edit) Pardon, ho scritto \( \operatorname{char}(V) \), ma intendevo dire \( \operatorname{char}(\mathbb{R}) \)
