Ascissa curvilinea

[Mito125]

In un problema di meccanica razionale ho trovato come soluzione la seguente formula:

\(\displaystyle \frac{ds}{d\theta} =|\frac{dP}{d\theta}| \)

Purtroppo non spiega come arrivare a questa espressione in nessun modo... Io avevo pensato che se

\(\displaystyle \ ds = \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}dt \)

Allora forse si poteva in qualche modo provare a sostituire $dt$ con $d\theta$ e derivare direttamente le varie componenti cartesiane rispetto a $theta$. Non so se però è giusto e non credo di aver capito bene come procedere. Volevo chiedere quindi come procedere per risolvere l'esercizio. Grazie

[anto_zoolander]

Ciao!
L’ascissa curvilinea è la particolare riparametrizzazione di una curva attraverso il parametro “lunghezza d’arco“

Se prendi una curva $phi:[a,b]->RR^n$ che sia di classe $C^1$ allora è ben definita la funzione $s(t)=int_(a)^(t)norm(phi’(ν))dν$. Puoi dimostrare che $s:[a,b]->[0,L]$(dove $L$ è la lunghezza della curva) è un cambiamento di parametro ammissibile per la curva(è derivabile, invertibile e con inversa derivabile).

Infatti si ha $int_(a)^(b)norm(phi’(ν))dν=int_(0)^(L)ds$

Questo poiché la curva equivalente ottenuta, riparametrizzando con il parametro lunghezza d’arco, ha velocità unitaria e quindi si ricade in quella uguaglianza. Per dimostrare che la curva $phicircs^(-1)$ ha velocità unitaria basta ricordare la derivata di una funzione inversa.

[Mito125]

Grazie della risposta. Esiste un modo meno matematico per dimostrare quello scritto? Ho provato a capirlo ma ho ancora dei dubbi. Cioè non capisco se stai dicendo che cambiando parametro non cambia la curva.

[dissonance]

Se il problema fosse in dimensione uno sarebbe così;
\[
\frac{ds}{d\theta} = \frac{ds}{dP}\frac{dP}{d\theta}, \]
quindi
\[
\left\lvert \frac{ds}{d\theta}\right\rvert = \left\lvert \frac{ds}{dP}\frac{dP}{d\theta}\right\rvert, \]
e siccome
\(\left\lvert \frac{dP}{ds}\right\rvert=1\), abbiamo finito.

In dimensione 3 non ha senso perché \(\frac{dP}{ds}\) è un vettore e non si può dividere per un vettore.

Vedi un po' se riesci a dare un senso a questa cosa, altrimenti chiedi nella sezione di Fisica, questa è una domanda di meccanica razionale più che di geometria.

[Mito125]

Si è meccanica razionale, non sapevo dove metterla... Adesso mi è chiaro... Infatti era proprio quello il tassello mancante... Essendo 1 si spiega da solo... Grazie dell'aiuto.