Sottospazi generati.

[galles90]

Buongiorno,

ho il seguente dubbio, sarà anche un dubbio ingenuo, ma vorrei chiarirlo con voi, vi riporto la traccia:

Considero i tre sottoinsiemi non vuoti di uno spazio vettoriale $V$, siano $A,B, X$ con la seguente proprietà
$A subseteq B$
$B subseteq X$
risulta che $[A]=[X]$, con il simbolo $[*]$ intendo sottospazio generato da $*$.

Procedo nel seguente modo $[A]=[X]$ se e soltanto se $[A] subseteq [X]$ e $[X] subseteq [A]$.

Risulta ovvia la prima relazione $[A] subseteq [X]$, invece per provare la seconda, procedo cosi:
Per una proprità sugli spazivettoriali generati si ha che se $X subseteq [A]$ in tal caso si ha $[X] subseteq [A]$.
Quindi:
se $x in X to x in [A]$, se $x in [A]$ se soltanto se $x in A$, essendo che $A subseteq X$ si ha $[X] subseteq [A]$.

Cordiali saluti.

[vict85]

Quello che cerchi di dimostrare è falso. Per lo meno se ci si limita a sottospazi qualsiasi. Per esempio in \(\mathbb{R}^3\), gli insiemi \(A=\{\mathbf{e}_1\}\), \(B=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}\), \(X=\{\mathbf{e}_1, , \mathbf{e}_2, , \mathbf{e}_3\}\) generano sottospazi diversi.

[galles90]

Si

quindi per avere questo $[A]=[B]$, i due insieme per esempio possono essere composti $A={mathbf{e_1}}$ e $B={mathbf{e_1},cmathbf{e_1}}$, con $c in mathbb{R}$ ?

[vict85]

Si, è quello che stavo dicendo. Non capisco che stai cercando di dimostrare e a cosa ti serve \(B\).

[galles90]

si, sto studiando le proprietà delle basi di un sottospazio vettoriale, stavo provando a generalizzare una dimostrazione.

Ho ancora un altro problemino, lo inserisco qui, oppure, apro un altro topic ?

[vict85]

Inserisci pure qui.

[galles90]

Buongiorno, riporto solo la parte di cui non ho capito, sarà una banalità ma non mi è chiara.
Sia $B$ l.i.
Sia $S$ un sistema di vettori di $X$ con $|S|>|B|$, intendo cardinalità, si ha $S subseteq [X]=[B]$ e quindi in base al teorema di Steinitz $S$ non può essere linearmente indipendente, quindi $B$ ha ordine massimo tra i sistemi linearmente indipendenti di $X$.

Il punto che non mi è chiaro è $S subseteq [X]=[B]$, mi spiego se la cardinalità di $S$ è maggiore della cardinalità di $B$ come puo essere contenuto in $X$ il sistema $S$.

Ciao

[vict85]

\(S\) e \(B\) sono insiemi, non sottospazi. Nota che per ogni insieme \(S\) tale che \(B \subseteq S \subseteq [B]\) si ha che \([S] = [B]\). Ti invito a dimostrarlo.

[galles90]

Si, procedo così,
Per ipotesi abbiamo $B subseteq S subseteq [B]$, dobbiamo verificare che $[B]=[S]$
Verificare $[B]=[S]$, comporta a verificare la condizione equivalente $[B]subseteq [S]$, $[S] subseteq [B]$.

Quindi sia $B subseteq S$, si ha che $B subseteq S subseteq [S]$ in quanto il sottospazio vettoriale generato $[B]$, è il più piccolo sottospazio vettoriale contente $B$, ovviamente $[S]$ contiene $B$ per cui risulta $[B] subseteq [S]$.
Invece, per la seconda parte procedo cosi, combinando questo $B subseteq S subseteq [S]$ con questo $B subseteq S subseteq [B]$, ottengo la tesi, $[S] subseteq [B]$.
Quindi questo dovrebbe rispondere alla mia domanda, c'è un altro problemino , non riesco a formalizzare che, $S$ contiene $B$, $S$ contenuto in $[B]$, si debba avere che il sistema $B$ abbia ordine massimo trai i sistemi linearmente indipendenti in $X$.

[galles90]

Penso di aver capito, essendo che $B$ è linearmente indipendente, per il teorema di Steintz il sistema $S$ è lineramente dipendente, quindi potrebbe essere visto come $S=B cup {mathbf{u}}$, quindi $B$ dipendente linearmente da $mathbf{u}$, questo implica che $B$ è linearmente indipendete di ordine massimo.

Spero di non aver detto fantasie

Ciao