Sottospazi generati.

[vict85]

Questo deriva dall'unicità della dimensione di un sottospazio finito. Dovrei pensarci, ma per il caso infinito mi sa che si debba usare il lamma di Zorn per dimostrarlo. Insomma in altri termini vale il seguente teorema (che ho scritto io sul momento e a memoria):

Sia \(V\) uno spazio vettoriale (o un sottospazio di uno spazio vettoriale) allora:

1. possiede almeno un insieme minimale \(B\) di generatori (un insieme di generatori è un insieme tale che \([B] = V\));
2. \(B\) è linearmente indipendente;
3. se \(B'\) è un'atro insieme minimale di generatori allora \(|B'| = |B|\).
4. se \(d=|B|\) è finito allora ogni altro insieme linearmente indipendente di cardinalità \(d\) è un insieme minimale di generatori.

L'ultimo punto è facile dimostrare che è falso nel caso di dimensione infinita.

\(S\) può avere più di un elemento di più di \(B\).

[galles90]

La 3. e la 4. sono equivalenti ?

Inoltre la prop. 4. dovrebbe essere la stessa che ho proposto io, cioè quello che ho scritto..

Buongiorno, riporto solo la parte di cui non ho capito, sarà una banalità ma non mi è chiara.
Sia $ B $ l.i.
Sia $ S $ un sistema di vettori di $ X $ con $ |S|>|B| $...

è solo una parte della dimostrazione, della stessa proposizione che hai proposto.

[vict85]

La 3 e 4 non sono equivalenti. Insomma la 4 implica la 3 ma non il viceversa. Quindi in pratica hai problemi a capire la dimostrazione del punto 4?

[galles90]

Non lo so se è corretto, comunque per assurdo suppongo che esiste un sistema di generatori $B'$ di $V$, cioè $[B']=V$ contenuto in $B$, essendo che $B subseteq [B]=[B']=V$ si ha per il T.S. $|B| le |B'|$ assurdo perchè $B' subseteq B$

[vict85]

Attento che qui si rischia di usare ragionamenti ciclici. Il metodo più diretto da usare è il seguente:

Sia \(s\in S\). Siccome \(S \subset [B]\), allora \(\displaystyle s = \sum_{b\in B} \alpha_bb\) dove solo un numero finito di \(\alpha_b\) è diverso da \(0\). Pertanto \(B\cup \{s\}\) è linearmente dipendente per ogni \(S - B\) e quindi \(B\) è un insieme linearmente indipendente massimale in \(S\).

[galles90]

Scusami, ma non sono uguali

Penso di aver capito, essendo che $B$ è linearmente indipendente, per il teorema di Steintz il sistema $S$ è lineramente dipendente, quindi potrebbe essere visto come $S=B cup {mathbf{u}}$, quindi $B$ dipendente linearmente da $mathbf{u}$, questo implica che $B$ è linearmente indipendete di ordine massimo.

Spero di non aver detto fantasie

Ciao

[vict85]

Quasi, il punto è che \(S\supseteq B \cup \{\mathbf{u}\}\), ma non sono necessariamente uguali.

[galles90]

Buongiorno vic85, ci sono, mi stavo facendo un problema, per nulla. Ho riletto la nozione di base, su un altro libro, dove spiega proprio il mio dubbio mediante una proposizione, dove la dimostrazione è identica alla tua.
In sintesi posso dire che, partiamo dal fatto
$B$ base di $X$, dove $X$ sottoinsieme di uno spazio vettoriali $V$.
Allora $B$ è un insieme massimale in $X$, di vettori linearmente indipendenti. "era proprio la mia domanda"

Essendo che $B$ è un sistema di generatori e i vettori che lo compongono sono l.i. quindi si ha
$x=a_1x_1+ ... +a_nx_n$, quindi si ha la seguente realazione lineare, con scalari non tutti nulli, cioè tipo il coefficienti di $x$ è pari $1$, ovvero $x-a_1x_1- ... -a_nx_n=0$.

E' corretto?

[vict85]

Si è corretto.

[galles90]

Grazie mille, per l'aiuto