Matematicamente.it

Buongiorno... qualcuno potrebbe dirmi se questa discussione sia giusta?
sia $C:L_1^(1) -> L_0^1$ Questo omomorfismo può essere anche realizzato tramite una contrazione esterna e cioè componendo un prodotto tensoriale tra due tensori dei rispettivi spazi:$ L_1^1$e $U_0^1$e una contrazione $C’:L_1^2->L_0^1$.
Senza entrare troppo nel dettaglio vi riporto quanto affermato dal mio libro:
$L=L_(j_1)^(i_i)(vec(e)_(i_1) ox vec(e)^(j_1))$
$M=M^(i_2)vec(e)_(i_2)$
$L ox M= L_(j_1)^(i_i)M^(i_2)(vec(e)_(i_1) ox vec(e)_(i_2) oxvec(e)^(j_1))$ da cui $C’=C^2_1$, così che: $ C_1^2 (L ox M) in L_0^1$. Qualcuno saprebbe spiegarmi perché si hanno due indici ripetuti $i_i$ sull’apice di: $L_(j_1)^(i_i)$ ?

Presumo sia un errore di stampa... doveva essere $i_1$.

È sicuramente un typo.

Grazie dissonance... in questi casi non si è mai troppo sicuri.

Per non aprire un nuovo post scrivo qui il mio dubbio:
[TEO] Sia $X$ una trasformazione multilineare:
$X : mathbb(V)_1 xx ...xx mathbb(V)_p xx mathbb(V)_1^** xx ... xx mathbb(V)_q^** -> U$ ;
allora esiste ed è unica la trasformazione lineare:
$C : \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) -> U $,
tale che: $X(vec(u)_1,...,vec(u)_p,vec(u)^1,...,vec(u)^q)=C(vec(u)_1 ox ... ox vec(u)_p ox vec(u)^1 ox ... ox vec(u)^q)$ per ogni $vec(u)_1,...,vec(u)_p in mathbb(V) $ e ogni $ vec(u)^1,...,vec(u)^q in mathbb(V)^**$.

COMMENTI: la precedente esprime in modo sintetico il signficato della fattorizzazione universale; ovvero il fatto che l'azione di un tensore $X$ su un insieme di vettori e covettori equivale all'azione di una applicazione lineare $C$ sul tensore semplice $vec(u)_1 ox ... ox vec(u)_p ox vec(u)^1 ox ... ox vec(u)^q$.

[DEF] Consideriamo lo spazio $\mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ e siano: $(h_1,..., h_N),(k_1,...,k_N)$ due disposizioni semplici di orine N sull'insieme :${1,...,min(p,q)}$ cosicchè risulti verificata:
per ogni $i,j in (1,...,N), i ne j rArr h_i ne h_j , k_i ne k_j $.
Diremo contrazione di ordine $N$ la funzione:
$C: T in \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) mapsto CT in \mathfrak(L)_(q-N)^(p-N)(mathbb(V))$ la quale risulta composta da $N$ contrazioni semplici $C:= C_(k_1)^(h_1) circ ... circ C_(k_N)^(h_N)$.
Dato $m<= bar(p)+bar(q)$ diremo contrazione $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterna di ordine $m$ una contrazione di ordine "m" che applicata al tensore $[T ox U] in mathfrak(L)_(q+bar(p))^(p+bar(q))(mathbb(V))$ ne saturi indici del tensore $T$ con indici del tensore $U$.
Diremo inoltre "contrazione semplice$(p,bar(p)),(q,bar(q))$ - esterna" del tensore $[T ox U]$ una contrazione $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterna di ordine $m=1$.

[TEOREMA] Sia $C in \mathcal(C)$, ove$ mathcal(C)$ è la classe delle contrazioni $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterne di ordine $m$, e sia: $ \mathfrak(c)={C_(k_1)^(h_1),..., C_(k_m)^(h_m)}$ l'insieme delle contrazioni semplici $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterne che la compongono. Tale insieme può sempre essere ripartito in due sottoinsiemi:
$ \mathfrak(c)^(bar(p)) sube mathfrak(C^(bar(p))$ e $ \mathfrak(c)^(bar(q)) sube mathfrak(C^(bar(q))$
ove $mathfrak(C^(bar(p))):={ C_k^h | (1<=h<=p) e (q+1<=k<=q+bar(p))}$ e $ mathfrak(C^(bar(q))):={ C_s^r | (p+1<=r<=p+bar(q)) e (1<=s<=q)}$. Questi insiemi avranno cardinalità rispettiva: $bar(p)$ e $bar(q)$.

[DEFINIZIONE] Delineata la struttura della classe $mathcal(C)$ introduciamo una classe di applicazioni lineari ad essa legate.
Scelti quattro interi $p,q,bar(p),bar(q)$ sottoposti alle limitazioni di cui sopra, sia $mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ la classe di applicazioni:
$mathfrak(J)_C : \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) -> (Hom)[\mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V)),\mathfrak(L)_(q-bar(q))^(p-bar(p))(mathbb(V))]$ definite dalla: $(mathfrak(J)_C L)M:=C(L ox M)$ per ogni $L in \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ e per ogni $ M in \mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V))$, al variare di $C in mathcal(C)$.
Risulta allora:
[TEO] Tutte le applicazioni $mathfrak(J)_C in mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ di cui alla definizione precedente sono isomorfismi.

[TEO] Lo spazio $mathfrak(L)_1^1$ delle applicazioni bilineari da $mathbb(V)^(**) xx mathbb(V) -> mathbb(K)$ è isomorfo allo spazio $Hom(mathbb(V),mathbb(V)$ degli endomorfismi di $mathbb(V)$.

-Date queste premesse arrivo ad esporvi i miei dubbi:
1) Dato che ogni applicazione del penultimo teorema realizza un isomorfismo vorrei capire quali sono gli elementi che vengono messi in relazione biunivoca. Da quali operatori vengono realizzati gli endomorfismi tra spazi tensoriali? Mi vien da dire dagli operatori $ox$ e $C_(k_i)^(h_j)in mathfrak(c)^(bar(p)) cup mathfrak(c)^(bar(q))$. Ma allora questo cosa vuol dire? Che ad ogni tensore della base dello spazio $mathfrak(L)_1^1$ l’applicazione $mathfrak(J)_C$ fa corrispondere un’operazione di prodotto tensoriale o contrazione?
2)In particolare per il teorema che lo segue dovrebbe essere vero che ai 4 tensori di base che generano $Tinmathfrak(L)_1^1 $ gli si associno 4 elementi dello spazio degli endomorfismi; quali sono questi endomorfismi?
3) Il primo post che ho scritto ( sù in cima ) dovrebbe essere un esempio di un isomorfismo dato dall'applicazione $mathfrak(J)_C$ sul tensore $L_1^1$ ma proprio non riesco a capire come si realizzi tale isomorfismo.
Un aiuto è graditissimo. Grazie

Sei capace di dimostrare che un ben preciso oggetto ha la proprietà universale di $V\otimes W$, innanzitutto?

l'oggetto di cui stai parlando è l'applicazione $C : mathfrak(L)_p^q(V)→U$. Questo oggetto se esiste è unico. Lo si dimostra dal fatto che tale applicazione è lineare e agisce su un insieme di generatori per lo spazio di $mathfrak(L)_p^q(V)$ e dunque:
$C(vec(e)_(i_1) ox...ox vec(e)_(i_p) ox vec(e)^(j_1) ox...ox vec(e)^(j_q))= X(vec(e)_(i_1),...,vec(e)_(i_p),...,vec(e)^(j_1),...,vec(e)^(j_q))$ per ogni $i,j=1,...,n$.
Inoltre $X=vec(e)^(i_1) ox...ox vec(e)^(i_p) ox vec(e)_(j_1) ox...ox vec(e)_(j_q)$.

Sì, d'accordo; ma esiste? Cioè, sai come costruire $V_1\otimes\cdots\otimes V_n$?

dallo span dei vettori appartenenti ai singoli spazi vettoriali soggetti al prodotto tensoriale(che si dimostra essere a sua volta uno spazio vettoriale): $L=vec(u)_1 ox....ox vec(u)_pox vec(u)^(1)ox...ox vec(u)^q=L_(j_1,...,j_q)^(i1,...,i_p)vec(e)_(i_1) ox....ox vec(e)_(i_p)ox vec(e)^(j_1)ox...ox vec(e)^(j_q) in mathfrak(L)_p^q(mathbb(V))$

Ho idea che la nozione di "proprietà universale" ti sia molto poco chiara