Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda Indrjo Dedej » 18/04/2019, 14:22

Vediamo... La matassa si sbroglia spesso esplodendo tutto (in senso metaforico, ovvio). :smile:
Fermiamoci già qua. Poi tutto il resto si vedrà dopo.
astrifiammante ha scritto:[...]
    1) $OQ\equiv AB$ è un multiplo di $AB$
    2) Dati $O,P,Q$, se $OP$ è un multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è anch'esso multiplo di $AB$

Ok, questa è una possibile definizione di multiplo. Vuoi o non vuoi questa definizione è induttiva. Mettere questa definizione avendo assunto l'assiomatica di Hilbert è un'indelicatezza bella grossa: semplicemente gli assiomi di Hilbert non contemplano l'assioma di induzione e questo assioma è essenziale per la dimostrazione del teorema di ricorsione, il quale giustifica le definizioni ricorsive. Il problema definitorio è cruciale, se no parliamo di fuffa. Che facciamo? Vogliamo potenziare l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione nel linguaggio già esistente? Come puoi vedere qualcun altro si è posto il tuo dubbio, ma non ci sono state risposte (purtroppo). Questo link è molto interessante, prendilo in considerazione. A te la scelta :smile:, tutto il resto segue a ruota.
Vediamo di proseguire...
astrifiammante ha scritto:Definizione 1: Se:
    1) $OQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
    2) dato $P$ compreso fra $O$ e $Q$ $OP$ è multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$

Lemma 1: Per ogni segmento $HL$, multiplo di $AB$, esiste un punto $K$ coincidente con $L$ o compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HK\equiv AB$ oppure $KL\equiv AB$.
Dim.
Se $HL\equiv AB$ allora $K=L$ per la 1) della definizione 1. Se $HL\ne AB$ per la 2) della definizione 1 esiste un $X$ compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HX$ è multiplo di $AB$ e $XL\equiv AB$. In tal caso $K=X$. :roll: (fine dimostrazione).

La definizione che hai dato è induttiva, non formulabile quindi all'interno dell'assiomatica di Hilbert. Quello che tenti di dimostrare può essere anche corretto, ma il punto di partenza è quello che è. Di nuovo: che facciamo? Vogliamo arricchire l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente? A te la scelta :smile:
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 20/04/2019, 18:39

Ciao Indrjo, scusa per il ritardo ma sono stato un po impegnato. Purtroppo sto masticando adesso le prime nozioni di fondamenti e dunque non sono molto allenato ma mi piacerebbe capire. Primo step. Non ho capito bene perchè non è lecita la definizione che ho dato di multiplo. Essa dovrebbe essere lecita se, oltre agli assiomi di hilbert, introduco gli assiomi logici e regole di deduzione logica del primo ordine........oops ed è questo il punto col principio di induzione sono in una logica del secondo ovvero devo lavorare con sottinsiemi di insiemi. Devo per forza tirare in ballo con la logica del secondo ordine il linguaggio degli insiemi? I greci non lavoravano e non conoscevano gli insiemi! anche se.... implicitamente la usavano negli elementi di euclide, parlavano di numeri. Altra domanda attinente, non posso introdurre in oltre assiomaticamente i numeri naturali senza far uso del linguaggio degli insiemi?
Step 2 cosa intendi con le due strade
Vogliamo arricchire l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente
Vorrei sapere se è possibile fare geometria usando soltanto i segmenti , introducendo le proporzioni alla maniera di eudosso senza introdurre numeri naturali e razionali. Comunque dimmi quali sono entrambe le strade da percorrere.
Step 3 Vorrei in fine arrivare a dimostrare la divisione di euclide (sempre solo con i segmenti) e vedere qual è il meccanismo che mi permette di stabilire se due segmenti sono incommensurabili (se a tal proposito è possibile usare la discesa infinita o un suo surrogato GEOMETRICO con i segmenti in base agli assiomi della geometria che stabilisco). In questo ambito dovrebbe giocare un ruolo importante l'assioma di archimede. Dulcis in fundo vorrei arrivare a dimostrare l'esistenza dei sottomultipli. Dovrei riuscirci attraverso l'assioma di cantor e l'esistenza del punto medio di un segmento. Altrimenti dimmi Se è più elegante usare un altro assioma. In fine fine fine.... arrivare con gli strumenti costruiti a definire la lunghezza della circonferenza.

Scusa per la valanga di domande ma come hai ben capito è un groooossso nodo.

Post scrittum: Riprendo qui sotto una domanda precedentemente sollevata che non ti ho esposto completamente per non farti casino. La definizione di multiplo che ho dato dovrebbe però rientrare in uno schema del primo ordine, ovvero per darla sono sufficienti gli assiomi logici del primo ordine e quelli di hilbert no? Con questi due punti si DIMOSTRA (usando hilbert) l'esistenza di 1 e del successivo di un naturale. E' anche poi possibile provare, dagli assiomi di hilbert, che se i successivi sono congruenti lo sono pure i precedenti e che non esiste nessun numero il cui successivo è 1. Tutte queste proprietà sono al primo ordine. Mi sembrerebbe a tal punto sovrabbondante il principio di induzione a meno che....... la mia definizione non escluda altri segmenti multipli (che in realtà non sono multipli) i quali vengono tolti dal principio di induzione. Ho problemi su tale punto.......cosa mi puoi dire?
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 21/04/2019, 14:36

Aggiungo alle domande che ti ho precedentemente fatto: come prima opzione proviamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda Indrjo Dedej » 23/04/2019, 22:15

Calma, calma...
A questo punto: cosa studi?
astrifiammante ha scritto:Purtroppo sto masticando adesso le prime nozioni di fondamenti e dunque non sono molto allenato ma mi piacerebbe capire.
Si vede, infatti. E i grossi nodi si sbrogliano con molta pazienza. Quello che emerge è che stai mischiando in maniera grossolana molte cose diverse (ad esempio numeri naturali e segmenti). Devi mettere ordine e procedere senza fretta facendo attenzione ad ogni singolo passo. Hai mai fatto logica? Ma seriamente, non quelle cosine che in genere si fanno all'inizio in analisi o algebra... Quello stai pretendendo di capire richiede un livello un po' più avanzato: in questo contesto la tua attenzione si è spostata (se non te ne sei accort*, adesso lo sai) da un livello (mera sequenza teorema-dimostrazione) ad un altro un po' più alto (fondazionale-strutturale). E quello che uno fa a questo punto è quello di giocare con la teoria, smontarla e rimontarla in maniera magari diversa. È un atteggiamento che si acquisisce con tante fatiche ma ce la si può fare. :smile:
Il consiglio mio quindi è: non mettere tanta carne sul fuoco, altrimenti lo spegni :-D. Piuttosto fai un po' di logica. Non c'è bisogno che tu mi parli di logica di primo o secondo ordine, ma che tragga come lezione che la matematica è liberamente manipolabile. Questo che stai facendo va bene. Solo non mettere troppe cose ammucchiate, concentrati su una cosa alla volta.
Siamo alla definizione di multiplo. Gli assiomi di Hilbert non contemplano il principio di induzione e quindi formulare una definizione induttiva lì dentro "stona" perché non è formulabile in maniera rigorosa. Per fare un paragone è come se tu, parlando in italiano, cambiassi all'improvviso lingua e parlassi in cinese. Le vie sono due: riformulare la definizione secondo l'assiomatica esistente (guarda il link che ti ho suggerito) oppure arricchirla. Quest'ultima azione è "pericolosa" (non ti do dettagli perché forse è troppo presto, ma: chi ti dice che genero una teoria coerente così facendo?) e abbastanza snervante (potrebbero essere necessarii altri assiomi che garantiscano l'integrazione del nuovo assioma con quelli già presenti).

PS: che io sappia l'esistenza dei sottomultipli è garantita da un assioma (che dice appunto questo).
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 24/04/2019, 11:30

Ciao indrjo. In effetti studio fisica, ma mi sono appassionato alla matematica. Corsi di logica non ne ho fatti, ma ho cominciato ad acquisire materiale mi sono appassionato alla problematica. Mi piacerebbe sistemare così tutti i diversi rami. Comunque cominciamo col definire multipli dall'assiomatica di hilbert.

PS: Il therad che mi avevi segnalato su mathstackexcange è mio, ho posto la mia domanda in diverse parti nella speranza che, nonostante fosse troppo banale :oops: , qualcuno mi rispondesse. Comunque come sfrutto lo statement che ho qui dato? https://math.stackexchange.com/questions/2833329/definition-multiple-of-a-segment-using-hilbert-axioms.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda Indrjo Dedej » 24/04/2019, 11:46

astrifiammante ha scritto:Il therad che mi avevi segnalato su mathstackexcange è mio.
Ah, ecco. Cominciavo ad avere qualche dubbio. :smile:
astrifiammante ha scritto:Comunque come sfrutto lo statement che ho qui dato?
Per cosa? Scusami. Assumendo quella definizione con 1 e 2' si riesce a provare che la somma di due multiplli è un multiplo.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 24/04/2019, 12:30

Si, se uso 2' al posto di 2 il lemma della somma di due multipli è già dimostrato. Ma quello che volevo dire è che mi occorre pur sempre l'induzione per ad esempio introdurre il pi greco con la lunghezza ddei poigoni inscritti e circoscritti.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 24/04/2019, 13:05

In più come faccio a dire che il processo fra il confronto fra due segmenti è finito o no (se sono commensurabili o no) senza l'induzione? Prendiamo ad esempio la diagonale del quadrato (non però usando l'aritmetica numeri primi ecc. ma l'algoritmo di divisione di euclide!) o del pentagono.
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