Caratterizzare tensori alternanti

[Elric]

Buongiorno a tutti! Sia \(f\) un tensore rango \(k\) su uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione \(n\). Data una base \((e_i)\) di \(V\), mi viene detto che \(f\) viene completamente determinato dai valori che assume su ogni \(k\)-tupla \((e_{i_1},...,e_{i_{k\le n}})\). In particolare, se \(f\) è alternante, basta considerare le tuple con multi-indici ascendenti.

Purtroppo questi fatti non mi risultano ovvi. Qualcuno riesce a chiare queste affermazioni per me?

[Shocker]

Immagino che per tensore di rango $k$ tu intenda una mappa multilineare $f : V \times ... \times V \to \mathbb{R}$.
Per fare il primo punto: fissa una base $ \mathcal{B} = {e_1, ..., e_n}$ di $V$, ogni vettore $v \in V$ si scrive come combinazione lineare di $e_1, ..., e_n$, allora $f(v_1, ..., v_k)$ sarà combinazione lineare di $f(e_{i_1}, ..., e_{i_k})$, con $(e_(i_1), ..., e_(i_k))$ che varia fra le $k-$uple fatte con indici in ${1, 2, ..., n}$.
Per il secondo: cos'è un tensore alternante? Applica la definizione! Qual è il valore su una $k-$upla non ascendente? Devi analizzare due casi: uno in cui ci sono almeno due indici coincidenti e l'altro in cui tutti gli indici sono diversi.

[Elric]

Ciao, Shocker! Mentre il forum era offline ci ho pensato su un po' meglio. In tutta sincerità: le idee sono semplici, ma trovo difficile esprimerle senza diventare contorto. Provo a spiegarti come la penso.

Chiaramente nel caso di una \(f:V\to\mathbb{R}\), basta specificare l'azione di \(f\) sugli \(n\) vettori della base per determinarla completamente. Nel caso di \(k\) variabili, basta scrivere \[v_1=v^{i_1}e_{i_1}, \ v_2=v^{i_2}e_{i_2}, \ \ldots , \ v_k=v^{i_k}e_{i_k}\] e usare la multilinearità per far vedere che \(f\) è determinata dal suo valore sugli elementi dell'insieme \(B=\{e_{i_1},...,e_{i_k}\}\) dove \(1\le i_j\le n\). Ma ciascun insieme \(\{e_{i_j}\}\) è la \(n-\)upla \(\{e_1,...,e_n\}\), quindi \(B\) coincide con la scelta, in qualunque ordine, di \(k\) degli \(n\) vettori della base. Ed ecco quindi che \(f\) è completamente determinata dal suo valore sugli \(e_I\) al variare dei multi-indici \(I=(i_1,...,i_k)\), dove ora ciascun indice rappresenta semplicemente un numero minore di \(n\).

A priori la scelta può essere tale che due, tre, o perfino tutti gli indici vengano scelti identici. Nel caso di un tensore alternante non nullo però tutti gli elementi devono essere distinti; infatti se \(i_m=i_n\) e \(\sigma\) è la permutazione che li inverte, si avrebbe allo stesso tempo \(\sigma f=f\) e \(\sigma f=-f\), contraddizione.

Per i tensori alternanti posso fare ancora di più, dimostrando che basta considerare multi-indici ascendenti. Supponendo che gli indici \(i_1,...,i_k\) siano tutti distinti, sia \(\tau\) la permutazione che li ordina in modo ascendente, dando il multi-indice \(J=\{i_{\tau(1)},...,i_{\tau(k)}\}\). Dimostrare che un tensore è determinato dai valori su \(\{e_J\}_J\) equivale a dire che due tensori \(f\) e \(g\) sono uguali se hanno gli stessi valori su tale insieme, cioè se \(f(v_J)=g(v_J)\). Ma \(f(v_J)=\tau f(v_I)=(\operatorname{sgn}\tau)f(v_I)\) e analogamente \(g(v_J)=\tau g(v_I)= (\operatorname{sgn}\tau)g(v_I)\), da cui segue che \(f\) e \(g\) hanno gli stessi valori per un multi-indice arbitrario.

Questo dovrebbe terminare il discorso!

[Shocker]

No aspetta, ci sono dei problemi.

In parole povere: nel caso di \( k \) variabili, considero l'azione di \( f \) sulla base per \( k \) volte, selezionando quindi \( k \) degli \( n \) vettori; ripeto il processo finché non ho esaurito i \( \binom{n}{k} \) multi-indici possibili.

Un tensore qualsiasi $f: V \times ... \times V \to \mathbb{R}$ è completamente determinato dall'azione su $n^k$ $k-$uple $(e_(i_1), ..., e_(i_k))$: non hai "vincoli" sugli indici che scegli, per cui per ogni elemento della $k-$upla hai $n$ scelte.

A priori la scelta può essere tale che due, tre, o perfino tutti gli indici vengano scelti identici (ottenendo così un insieme \( B \) di un singolo elemento).

Qui non ho capito cosa vuoi dire. $B$ è una base di $V$, perché diventa un insieme con un solo elemento?

Nel caso di un tensore alternante non nullo però tutti gli elementi devono essere distinti; infatti se \( i_m=i_n \) e \( \sigma \) è la permutazione che li inverte, si avrebbe allo stesso tempo \( \sigma f=f \) e \( \sigma f=-f \), contraddizione.

Non è una contraddizione, semplicemente il tensore manda questi elementi in zero. Per esempio in dimensione $2$: $f(e_1, e_1) = -f(e_1, e_1) \Rightarrow 2f(e_1, e_1) = 0$ e poiché il campo ha caratteristica diversa da due si ha che $f(e_1, e_1) = 0$.

Il resto mi sembra ok.

[Elric]

Sì certamente, hai ragione su tutto. Quella su \(B\) è una stupidata, l'ho levata.