Ciao, Shocker! Mentre il forum era offline ci ho pensato su un po' meglio. In tutta sincerità: le idee sono semplici, ma trovo difficile esprimerle senza diventare contorto. Provo a spiegarti come la penso.
Chiaramente nel caso di una \(f:V\to\mathbb{R}\), basta specificare l'azione di \(f\) sugli \(n\) vettori della base per determinarla completamente. Nel caso di \(k\) variabili, basta scrivere \[v_1=v^{i_1}e_{i_1}, \ v_2=v^{i_2}e_{i_2}, \ \ldots , \ v_k=v^{i_k}e_{i_k}\] e usare la multilinearità per far vedere che \(f\) è determinata dal suo valore sugli elementi dell'insieme \(B=\{e_{i_1},...,e_{i_k}\}\) dove \(1\le i_j\le n\). Ma ciascun insieme \(\{e_{i_j}\}\) è la \(n-\)upla \(\{e_1,...,e_n\}\), quindi \(B\) coincide con la scelta, in qualunque ordine, di \(k\) degli \(n\) vettori della base. Ed ecco quindi che \(f\) è completamente determinata dal suo valore sugli \(e_I\) al variare dei multi-indici \(I=(i_1,...,i_k)\), dove ora ciascun indice rappresenta semplicemente un numero minore di \(n\).
A priori la scelta può essere tale che due, tre, o perfino tutti gli indici vengano scelti identici. Nel caso di un tensore alternante non nullo però tutti gli elementi devono essere distinti; infatti se \(i_m=i_n\) e \(\sigma\) è la permutazione che li inverte, si avrebbe allo stesso tempo \(\sigma f=f\) e \(\sigma f=-f\), contraddizione.
Per i tensori alternanti posso fare ancora di più, dimostrando che basta considerare multi-indici ascendenti. Supponendo che gli indici \(i_1,...,i_k\) siano tutti distinti, sia \(\tau\) la permutazione che li ordina in modo ascendente, dando il multi-indice \(J=\{i_{\tau(1)},...,i_{\tau(k)}\}\). Dimostrare che un tensore è determinato dai valori su \(\{e_J\}_J\) equivale a dire che due tensori \(f\) e \(g\) sono uguali se hanno gli stessi valori su tale insieme, cioè se \(f(v_J)=g(v_J)\). Ma \(f(v_J)=\tau f(v_I)=(\operatorname{sgn}\tau)f(v_I)\) e analogamente \(g(v_J)=\tau g(v_I)= (\operatorname{sgn}\tau)g(v_I)\), da cui segue che \(f\) e \(g\) hanno gli stessi valori per un multi-indice arbitrario.
Questo dovrebbe terminare il discorso!