Esercizio su connessione locale

[Shocker]

Un intorno di un punto $x$ di $X$ è un insieme che contiene un aperto che contiene $x$. Come sono fatti gli aperti di $X$? Sono quelli della topologia indotta, cioè provengono dall'intersezione di aperti di $\mathbb{R}^2$ con $X$. Sapendo ciò, perché $r \cap B((0,1), n^-1)$ non è un aperto di $X$ né tantomeno di $X \cap B((0,1), n^-1)$? Io ho capito quello che pensi, credo. Sospetti che gli intervallini "aperti" che vivono sulle rette siano aperti di $X$, giusto? Ecco, questo è falso, pensaci.

Per quanto riguarda la soluzione caulacau, ti invito a trovare un omeomorfismo fra $X \cap B((\epsilon, 0), \frac{ \epsilon}{2})$ e $]0, 1[ \ times (\mathbb{Q} \cap [0,1])$.

Chiedo scusa se sono stato impreciso, un po' era voluto ma forse ho esagerato

[anto_zoolander]

Ecco cosa continuava a fregarmi, avevo proprio quella immagine in testa
Praticamente ogni intorno $U$ di $P=(0,1)$ in $X$ dovrebbe contenere almeno una cosa del tipo $XcapB(P,r)$ che interseca sempre almeno due rette di $X$, obbligando $U$ a intersecare due rette.

Per intorni sufficientemente al punto non contengono l’origine e quindi sono tutti sconnessi.

Per quanto riguarda l’altra cosa ci penso mentre sono dal barbiere

[j18eos]

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Nella definizione di \(\displaystyle X\), dovrebbe essere \(\displaystyle(a,b)\neq(0,0)\); altrimenti sarebbe \(\displaystyle X=\mathbb{R}^2\).

[anto_zoolander]

@jeos

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ciao eos
Ma così ottieni uno spazio sconnesso.
Inoltre non è proprio uguale ad $RR^2$ infatti se si considera la retta $r_(sqrt2)$ essa non appartiene a $X$, piuttosto è denso

[Shocker]

@jeos

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ciao eos
Ma così ottieni uno spazio sconnesso.
Inoltre non è proprio uguale ad $RR^2$ infatti se si considera la retta $r_(sqrt2)$ essa non appartiene a $X$, piuttosto è denso

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No, ha ragione j18eos, $a$ e $b$ devono essere entrambi non nulli.

[anto_zoolander]

@shocker,jeos

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giusto... ${(x,y) in RR^2|0x=0y}$ sarebbe $RR^2$