Esercizio su connessione locale

[anto_zoolander]

Ciao!

sia $X=bigcup_((a,b)in ZZ^2){(x,y) in RR^2| ax=by}$

dimostrare che $X$ è connesso ma non localmente connesso

la connessione è facile; scritto $X=bigcup_(q in QQ){(x,qx)in RR^2|x in RR}cup{(0,x) in RR^2|x in RR}$

pongo $r_q:={(x,qx) in RR^2|x in RR}$ e $r={(0,x) in RR^2|x in RR}$

$r$ è banalmente omeomorfo ad $RR$ quindi connesso

Inoltre essendo $r_q$ il grafico della funzione $f_q(x)=qx$ si ha che $r_q$ è chiuso nel prodotto e omeomorfo ad $RR$, quindi al variare di $q$ le rette $r_q$ sono tutte connesse

Essendo $0 in bigcap_(q inQQ)r_qcapr$ si ha che $X$ è connesso

Sulla locale connessione sono un po’ perplesso: ogni retta è omeomorfa ad $RR$ e se non erro si tratta di un invariante per omeomorfismo, da cui tutte le rette sarebbero localmente connesse.

l’unione dovrebbe essere ancora localmente connessa, oppure sto prendendo qualcosa alla leggera?

[Shocker]

Prendi per esempio $(0, 1)$ e $A = B( (0, 1), r) \cap X$, dove $r < 1$, tale insieme è connesso? Riesci a trovare un aperto connesso contenuto in esso?

[otta96]

l’unione dovrebbe essere ancora localmente connessa

E perché mai?

[anto_zoolander]

E perché mai?

perché una fesseria dovevo dirla

Prendi per esempio $ (0, 1) $ e $ A = B( (0, 1), r) \cap X $, dove $ r < 1 $, tale insieme è connesso? Riesci a trovare un aperto connesso contenuto in esso?

Intuitivamente è sconnesso e non contiene alcun aperto connesso, ma non riesco a dimostrarlo

sia $0<s<1$ e $B((0,1),s)capX$(la palla la chiamo solo $B_s$ e uso $s$ per non confonderla con le rette) arrivo a

$XcapB_s=(rcapB_s)cup(bigcup_(q in QQ)r_qcapB_s)$

i due insiemi sono disgiunti e quello a sinistra è chiuso in $XcapB_s$, ma non riesco a dimostrare né che sia anche aperto né che anche l'altro sia chiuso.

[Shocker]

Mh.
Hai una famiglia numerabile di rette che passano per l'origine, quindi esiste almeno una retta che passa per l'origine, interseca la palla ma è distinta da tutte quelle di $X$. A questo punto come aperti puoi prendere i semispazi aperti indotti da questa retta. Questo mette apposto la connessione, che dite? Chiaramente sono solo indicazioni ma credo possa andare bene come strategia, anche se forse, anzi sicuramente, ne esiste una più semplice.
E per dimostrare che non contiene nessun aperto connesso?

[caulacau]

Fissato \(\epsilon > 0\), la palla di centro \((\epsilon,0)\) e raggio \(\epsilon/2\) interseca $X$ in un sottospazio omeomorfo a \(]0,1[\times (\mathbb{Q}\cap[0,1])\), e questo non è connesso (per archi) per un argomento di continuità (valori intermedi, e in ogni intervallo non banale cade un irrazionale).

[Shocker]

Bello!

[Shocker]

@Shocker: cosa intendi per aperti indotti dalla retta? intendi dire che prendi un aperto uguale a $A_1=B((0,1), r)\cap"asse y"$ e l'altro $A_2=B((0,1), r)-A_1$?

No, detta $r_0: y = mx$ una retta che passa per l'origine, interseca $B((0,1), r)$ ed è distinta da tutte le rette di cui è unione $X$, considera gli aperti $A_1 ={(x,y) \in \mathbb{R} | y < mx}$ e $A_2={(x,y)| y > mx}$, questi sono due aperti disgiunti in $\mathbb{R^2}$. Allora $B((0,1), r) \cap X = (B((0,1), r) \cap X)\cap A_1) \cup (B((0,1), r) \cap X) \cap A_2)$ e quindi $B((0,1), r) \cap X$ è sconnesso.

[caulacau]

che c'entra la connessione per archi?

in che senso "che c'entra"?

[anto_zoolander]

We

intanto grazie per le risposte, quella che ho capito meno è quella di caulacau

@shocker
Ho capito quello che intendi e in generale(dopo che ho compreso cosa volessi dire, ho intuito che)¹ si può fare per ogni sottoinsieme che non contiene lo $0$ e che interseca almeno due rette.

Il motivo è che sostanzialmente si può prendere un irrazionale in modo tale che ci sia una retta in mezzo alle due che l'insieme interseca e prendendo i semipiani viene sconnesso.
Di fatto se $A$ è contenuto interamente in qualche retta di $X$ anche se non contiene l'origine, per ogni altra retta distinta sarebbe comunque contenuto in uno dei due semipiani.

Ora però si dovrebbe dimostrare che non ci sono sistemi di intorni connessi e in genere se $U$ è intorno in $RR^2$ allora $UcapX$ intorno in $X$ ma essendo $X$ ne aperto ne chiuso non tutti gli intorni di $X$ vengono da intorni di $RR^2$ quindi si dovrebbe dimostrare che gli insiemi che stanno sulle rette non siano intorni. Per esempio che $rcapB((0,1),n^(-1))$ non sia intorno di $(0,1)$ anche perchè quegli intorni sono tutti connessi(stanno solo sulla retta $r$ e sono omeomorfi a $B(1,n^(-1))$ in $RR$ e inoltre saranno connessi nella topologia indotta da $RR^2$ che è la stessa che gli induce ogni insieme che lo contiene, quindi è connesso anche come sottospazio di $X$)

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Note

1. :lol: ↑