Un intorno di un punto $x$ di $X$ è un insieme che contiene un aperto che contiene $x$. Come sono fatti gli aperti di $X$? Sono quelli della topologia indotta, cioè provengono dall'intersezione di aperti di $\mathbb{R}^2$ con $X$. Sapendo ciò, perché $r \cap B((0,1), n^-1)$ non è un aperto di $X$ né tantomeno di $X \cap B((0,1), n^-1)$? Io ho capito quello che pensi, credo. Sospetti che gli intervallini "aperti" che vivono sulle rette siano aperti di $X$, giusto? Ecco, questo è falso, pensaci.
Per quanto riguarda la soluzione caulacau, ti invito a trovare un omeomorfismo fra $X \cap B((\epsilon, 0), \frac{ \epsilon}{2})$ e $]0, 1[ \ times (\mathbb{Q} \cap [0,1])$.
Chiedo scusa se sono stato impreciso, un po' era voluto ma forse ho esagerato