Aiuto su sistema lineare non omogeneo.

[davidino0112]

Buongiorno a tutti, mi chiamo Davide e sto preparando l'esame di scienza delle costruzioni.
Sono uno studente lavoratore (un po avanti con gli anni) e confesso di essere un po arrugginito.
Mi sono imbattuto in un sistema lineare non omogeneo di cui non mi tornano i risultati indicati sul testo; penso o spero perchè non ricordo alcuni trucchi.
Spero mi possiate dare un instrademento verso la comprensione del mio errore.

Il sistema è il seguente:

$\sigma_1^2 n_1^2 + sigma_2^2 n_2^2 + sigma_3^2 n_3^2 = \tau_n^2 + \sigma_n^2$
$\sigma_1 n_1^2 + sigma_2 n_2^2 + sigma_3 n_3^2 = \sigma_n$
$n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1$

In forma matriciale

$[[sigma_1^2,sigma_2^2,sigma_3^2],[sigma_1,sigma_2,sigma_3],[1,1,1]] * [[n_1^2],[n_2^2],[n_3^2]] = [[\tau_n^2 + \sigma_n^2],[\sigma_n],[1]] $

Ora utilizzando il metodo di Cramer calcolo il determinante della matrice dei coefficienti e ottengo il seguente risultato

$\sigma_1^2(\sigma_2-\sigma_3) - \sigma_2^2(\sigma_1-\sigma_3) + \sigma_3^2(\sigma_1-\sigma_2)$

Sostituisco poi la prima colonna della matrice dei coefficienti con i termini noti e calcolo il determinante ottenendo il seguente risultato

$(\tau_n^2 + \sigma_n^2)(\sigma_2-\sigma_3) - \sigma_2^2(\sigma_n-\sigma_3) + \sigma_3^2(\sigma_n-\sigma_2)$

Per risolvere il sistema ora dovrei dividere il risultato appena ottenuto per il determinante della matrice dei coefficienti ottenendo il valore di $n_1^2$ cercato

$n_1^2 = ((\tau_n^2 + \sigma_n^2)(\sigma_2-\sigma_3) - \sigma_2^2(\sigma_n-\sigma_3) + \sigma_3^2(\sigma_n-\sigma_2)) / (\sigma_1^2(\sigma_2-\sigma_3) - \sigma_2^2(\sigma_1-\sigma_3) + \sigma_3^2(\sigma_1-\sigma_2))$

Sul testo indica che tale valore è

$n_1^2 = (\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_2) (\sigma_n - \sigma_3)) / ((\sigma_1 - \sigma_2)(\sigma_1 - \sigma_3))$

Qualora io non abbia commesso errori nello svolgimento dei determinanti, mi potreste indirizzare verso la procedura da seguire per passare dal risultato che ottengo io a quello indicato sul libro?
Grazie a tutti e scusate se il post è molto lungo.
Saluti

Davide

[Bokonon]

Ora utilizzando il metodo di Cramer calcolo il determinante della matrice dei coefficienti e ottengo il seguente risultato

$\sigma_1^2(\sigma_2-\sigma_3) - \sigma_2^2(\sigma_1-\sigma_3) + \sigma_3^2(\sigma_1-\sigma_2)$

E' equivalente a:
$(sigma_1-sigma_2)(sigma_1-sigma_3)(sigma_2-sigma_3)$
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_Vandermonde
Prova di nuovo usando questa formulazione.

[davidino0112]

Grazie mille per la risposta. Provo subito...