$ F_h :{ ( 2x_1 + hx_2 + 4x_3 + 2(h-1)x_4 = 5h ),( (h-1)x_1 + 3x_2 + 2(h-1)x_3 + 9x_4 = 1-7h ):} $
Trovare $ m_1 , m_2 in mathbb{N} $ e $ h_0 in mathbb{R} $ tali che $ dim (F_h) = m_1 $ per $ h != h_0 $ e $ dim(F_(h_0)) = m_2 $
Ho provato a risolvere il sistema lasciando oltre h, due parametri liberi, esplicitando per $ x_1 $ ed $ x_2 $ per esempio; così facendo sarei passato ad una forma parametrica del sottospazio affine, ma i calcoli mi hanno bloccato.
Ho poi provato ad imporre la prima equazione omogenea, multiplo dell'altra (sempre l'omogenea) attraverso un parametro $ alpha $ per esempio; stessa cosa per i termini noti. Ottengo quindi un sistema di due equazioni in 6 incognite che non riesco a risolvere e che non riesco a capire neanche a cosa mi porti.
Ho quindi pensato a ragionare in termini di matrice associata al sistema e di rango della matrice per determinare la lineare dipendenza: la matrice dei coefficienti è una $ 2xx 4 $ con rango minimo 1. Se calcolo il determinante di una sua $ 2xx 2 $ e lo impongo uguale a zero (cioè impongo rank=1), trovo che le due equazioni sono dipendenti per h=-2, avendo verificato ed avendo scartato h=3 (l'altra soluzione). L'esercizio credo sia terminato a questo punto; per h=-2 la dim F = 1 e per h$ != $-2 la dim F = 2.
Ho due domande da fare quindi. La prima: non c'è modo di arrivare alla soluzione senza rifarsi alla matrice/matrici associate al sistema?. La seconda: rifacendosi alla matrice/matrici, la matrice completa con i termini noti a cosa mi serve? cioè, sbaglio io a non considerarla per la lineare dipendenza e/o per l'esercizio?
Per favore aiutatemi, questo punto dell'esercizio mi blocca tutta la prova d'esame.