Dimensione sottospazi affini con parametro. Esercizio

[fedeing.]

$ F_h :{ ( 2x_1 + hx_2 + 4x_3 + 2(h-1)x_4 = 5h ),( (h-1)x_1 + 3x_2 + 2(h-1)x_3 + 9x_4 = 1-7h ):} $

Trovare $ m_1 , m_2 in mathbb{N} $ e $ h_0 in mathbb{R} $ tali che $ dim (F_h) = m_1 $ per $ h != h_0 $ e $ dim(F_(h_0)) = m_2 $

Ho provato a risolvere il sistema lasciando oltre h, due parametri liberi, esplicitando per $ x_1 $ ed $ x_2 $ per esempio; così facendo sarei passato ad una forma parametrica del sottospazio affine, ma i calcoli mi hanno bloccato.
Ho poi provato ad imporre la prima equazione omogenea, multiplo dell'altra (sempre l'omogenea) attraverso un parametro $ alpha $ per esempio; stessa cosa per i termini noti. Ottengo quindi un sistema di due equazioni in 6 incognite che non riesco a risolvere e che non riesco a capire neanche a cosa mi porti.
Ho quindi pensato a ragionare in termini di matrice associata al sistema e di rango della matrice per determinare la lineare dipendenza: la matrice dei coefficienti è una $ 2xx 4 $ con rango minimo 1. Se calcolo il determinante di una sua $ 2xx 2 $ e lo impongo uguale a zero (cioè impongo rank=1), trovo che le due equazioni sono dipendenti per h=-2, avendo verificato ed avendo scartato h=3 (l'altra soluzione). L'esercizio credo sia terminato a questo punto; per h=-2 la dim F = 1 e per h$ != $-2 la dim F = 2.
Ho due domande da fare quindi. La prima: non c'è modo di arrivare alla soluzione senza rifarsi alla matrice/matrici associate al sistema?. La seconda: rifacendosi alla matrice/matrici, la matrice completa con i termini noti a cosa mi serve? cioè, sbaglio io a non considerarla per la lineare dipendenza e/o per l'esercizio?
Per favore aiutatemi, questo punto dell'esercizio mi blocca tutta la prova d'esame.

[Bokonon]

Le dimensioni sono sbagliate.
Per $h=-2$ abbiamo che $dimF_(-2)=3$ mentre per $h!=-2$ $dimF_(h)=2$. Quindi non vi sono casi in cui la dimensione è 0.

Piuttosto che darti la "ricetta", sarei più propenso a darti il quadro generale della situazione ma dovresti collaborare.
Andiamo in $R^3$. Se scrivo $x+2y-3z=2$ cosa sai dirmi? Scrivi tutto ciò che sai (geometricamente parlando).

[fedeing.]

So dirti che in $ R^3 $, quell'equazione mi rappresenta un piano traslato: traslato dall'origine, di un vettore $ ( ( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) $ per esempio ( e/o di un vettore $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $, e/o di un vettore $ ( ( 0 ),( 0 ),( -2/3 ) ) $ ? ) , con la testa del vettore appartenente al piano. Il piano ha dimensione 2 con ($ ( ( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) ) $) , ($ ( ( 1 ),( -1/2),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 3/2 ),( 1 ) ) $) , ( $ ( ( 1 ),( 0),( 1/3 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 2/3 ) ) $ ) , tre sue possibili basi. La forma cartesiana mi esplicita il vettore direttore $ ( 1, \ \ 2, \ \ -3 ) $ che mi individua la direzione ortogonale al piano e a tutti i suoi piani paralleli.
Ecco cosa so dirti. Nient'altro di più, mi dispiace.

[Bokonon]

Eccellente!

Quindi sostanzialmente è lo spazio composto dai vettori ortogonali a $(1,2,-3)$ traslato dall'origine: uno spazio affine.
Ci sono tre variabili (perchè siamo in $R^3$), quindi due sono libere e una può sempre essere vincolata alle 2. A seconda della scelta la traslazione avverrà lungo quella "direzione".
Due piani di $R^3$ che passano per l'origine si intersecano sempre e l'intersezione è una retta. Al massimo possono essere il medesimo piano (se sono paralleli). Due piani $R^3$ traslati, invece, possono: intersercarsi in una retta, essere il medesimo piano oppure essere due piani paralleli (ma non coincidenti).
Se riscrivo il piano di prima e lo metto a sistema con un altro piano...
$ { ( x+2y-3z=2 ),( 2x+4y-6z=pi ):} $
...so già che lo spazio definito dal sistema è composto dalla intersezione di due piani paralleli ma non coincidenti, ergo non esiste.
Usando Gauss sulla matrice completa avrò $ ( ( 1 , 2 , -3 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , pi-4 ) ) $
Le prime tre colonne mi dicono che le direzioni dei due piani sono le stesse (visto che la seconda riga si annulla) ma $pi-4!=0$ quindi non sono il medesimo piano, ma bensì due piani paralleli (ergo non si intersecano).

L'algebra lineare permette a tutti gli effetti di poter in qualche modo "visualizzare" anche spazi di dimensioni $>3$ usando la medesima logica. L'iperpiano $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=e$ altro non è che l'iperpiano passante per l'origine contenente tutti i vettori perpendicolari al vettore $(a,b,c,d)$, successivamente "traslato" via dall'origine. In questo caso ci sono 4 variabili e possiamo fissarne solo 1 in funzione delle altre 3: quindi ha dimensione 3. L'intersezione di due iperpiani (non paralleli o coincidenti) da un piano, quindi dimensione 2. E così via.

E adesso andiamo al problema. Scrivendo la matrice completa e usando Gauss (in modo chiaro e pulito), ho ottenuto:
$ ( ( 2 , h , 4 , 2(h-1) , 5h ),( 0 , (h+2)(h-3) , 0, (h+2)(h-4) , (h+2)(h-1/5)) ) $
Per $h=-2$ l'intera seconda riga si annulla, traduzione sono il medesimo iperpiano, quindi $dimF_(-2)=3$
Inoltre per $h!=-2$ non capita mai il caso che ho proposto sopra per i due piani in $R^3$. Tradotto, si interersecano sempre e la matrice ridotta ha sempre rango 2, quindi un piano $dimF_h=2$
Non ci sono altre casisitiche.

Infine, parametrizzare è equivalente a trovare tutte le soluzioni del sistema. Se risolvi il sistema omogeneo (prime quattro colonne) trovi una base per il kernel (due vettori nel caso generale) che saranno appunto simultaneamente ortogonali ad entrambe le direzioni $(a,b,c,d)$ delle equazioni cartesiane dei due iperpiani. Risolvendo l'intero sistema troverai la soluzione particolare...la traslazione lungo la direzione che deciderai di tenere fissa.

Ora dovresti aver capito a cosa serve il sistema e cosa sono i coefficienti. Non c'è nulla che tu già non sapessi, dovevi solo mettere insieme le nozioni.
Spero di aver risposto alle tue domande.

[fedeing.]

Esauriente ed esaustivo. Grazie mille