Minima distanza tra sottovarietà lineari

Messaggioda marco2132k » 10/05/2019, 16:44

Ciao. Mi sono bloccato da un bel po' su questa dimostrazione. (Chiedo scusa per le immagini, ma mi seccava troppo riscrivere il tutto).

Nello spazio (affine) euclideo \( \mathbb{E}\left(\mathbb{R}^3\right) \) vale la seguente.
Immagine

Perché \( 0 \) è l'unico vettore che soddisfa a ciò?

Inoltre, andando avanti
Immagine

Da dove arrivano \( u \), \( v \) e \( n \)?
marco2132k
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Re: Minima distanza tra sottovarietà lineari

Messaggioda vict85 » 10/05/2019, 20:49

Sia \(O \in \mathbb{L}\cap\mathbb{M}\), allora esistono \(\mathbf{u}\in U\) e \(\mathbf{w}\in W\) tali che \(P + \mathbf{u} = O\) e \(Q + \mathbf{w} = O\). In altre parole, dal punto di vista del punto \(O\), le sottovarietà lineari \(\mathbb{M}\) e \(\mathbb{L}\) sono indistinguibili dai sottospazi vettoriali \(U\) e \(W\). Pertanto si può supporre di lavorare direttamente in uno spazio vettoriale. Considera due vettori \(\mathbf{u}\in U\), \(\mathbf{w}\in W\) e la loro differenza. Allora si ha \(\langle \mathbf{u} - \mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle - \langle \mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle\). Siccome il prodotto vettoriale è non degenere si ha \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle > 0\). Se \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle \neq \langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle\) si ha finito, altrimenti basta sostituire \(\mathbf{w}\) con un suo multiplo.

Riguardo al secondo punto mi sembra stia usando un ragionamento circolare, nel senso che la tesi è che \(\mathbf{n}\) sia ortogonale ad entrambi.

Comunque, per la prossima volta, quando ti scusi per aver inserito immagini, non dire che ti "seccava" fare qualcosa che stai esplicitamente chiedendo a qualcun'altro di fare. Insomma, non rende chi ti legge molto propenso a risponderti.
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Re: Minima distanza tra sottovarietà lineari

Messaggioda marco2132k » 11/05/2019, 19:12

Ti ringrazio per la risposta.

Da quello che ho capito, dimostri che presi due vettori rispettivamente di \( U \) e \( W \), la loro differenza non è perpendicolare ad uno di essi. Perché questo dovrebbe provare che \( 0 \) è l'unico vettore (dello spazio, cioè qui \( \mathbb{R}^3 \), e congiungente due punti di \( \mathbb{L} \) e \( M \)) perpendicolare ai due sottospazi direttori \( U \) e \( W \)?

Inoltre, che cosa intendi qui
vict85 ha scritto:Sia \( O \in \mathbb{L}\cap\mathbb{M} \), allora esistono \( \mathbf{u}\in U \) e \( \mathbf{w}\in W \) tali che \( P + \mathbf{u} = O \) e \( Q + \mathbf{w} = O \). In altre parole, dal punto di vista del punto \( O \), le sottovarietà lineari \( \mathbb{M} \) e \( \mathbb{L} \) sono indistinguibili dai sottospazi vettoriali \( U \) e \( W \). Pertanto si può supporre di lavorare direttamente in uno spazio vettoriale.
con "si può lavorare direttamente in uno spazio vettoriale"?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Riguardo al "seccava": hai perfettamente ragione. Era da intendersi come "credo che la cosa sia immediatamente risolvibile a chi ne sa un briciolo in più di me; ma ora dovrei proseguire più speditamente, evitando di rimanerci sopra per troppo tempo".
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