Ciao. Siano \( \left(X_1,\tau_1\right) \) e \( \left(X_2,\tau_2\right) \) due spazi topologici, ed \( f\colon X_1\to X_2 \) una funzione biiettiva. Voglio provare che \( f \) è un omeomorfismo se e solo se \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \).
Utilizzerò il risultato che compare in questo post.
Dimostrazione. Sia \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \), e si consideri un aperto \( U \) di \( X_2 \); abbiamo (dato che \( f \) è suriettiva) \( f_{*}f^{*}U=U \) e quindi, per il risultato precedente, la controimmagine di \( U \) è un aperto di \( X_1 \). Le stesse considerazioni valgono per l'inversa, ovviamente. Supposto che ora \( f \) sia un omeomorfismo, si consideri un aperto \( V \) di \( X_1 \). È possibile provare che \( f_{*}V \) è un aperto di \( X_2 \) considerando l'immagine inversa \( g^{*}V \): questo è un aperto di \( X_2 \), contenuto in (e uguale a) \( f_{*}V \), che è per questo motivo aperto. Al contrario, sia \( V \) un sottoinsieme di \( X_1 \), tale che la sua immagine mediante la diretta \( f \) sia aperta in \( X_2 \). Allora si ha che \( f^{*}f_{*}U\subset U \) (vale l'uguaglianza) è aperta. \( \square \)
Come è andata?
EDIT: corrette le notazioni.