Comportamento degli omeomorfismi sugli aperti

[marco2132k]

Ciao. Siano \( \left(X_1,\tau_1\right) \) e \( \left(X_2,\tau_2\right) \) due spazi topologici, ed \( f\colon X_1\to X_2 \) una funzione biiettiva. Voglio provare che \( f \) è un omeomorfismo se e solo se \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \).

Utilizzerò il risultato che compare in questo post.

Dimostrazione. Sia \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \), e si consideri un aperto \( U \) di \( X_2 \); abbiamo (dato che \( f \) è suriettiva) \( f_{*}f^{*}U=U \) e quindi, per il risultato precedente, la controimmagine di \( U \) è un aperto di \( X_1 \). Le stesse considerazioni valgono per l'inversa, ovviamente. Supposto che ora \( f \) sia un omeomorfismo, si consideri un aperto \( V \) di \( X_1 \). È possibile provare che \( f_{*}V \) è un aperto di \( X_2 \) considerando l'immagine inversa \( g^{*}V \): questo è un aperto di \( X_2 \), contenuto in (e uguale a) \( f_{*}V \), che è per questo motivo aperto. Al contrario, sia \( V \) un sottoinsieme di \( X_1 \), tale che la sua immagine mediante la diretta \( f \) sia aperta in \( X_2 \). Allora si ha che \( f^{*}f_{*}U\subset U \) (vale l'uguaglianza) è aperta. \( \square \)

Come è andata?

EDIT: corrette le notazioni.

[otta96]

considerando l'immagine inversa \( g^{-1}V \): questo è un aperto di \( X_2 \), contenuto in \( f_{*}V \), che è per questo motivo aperto.

Non basta che sia contenuto, è proprio uguale. E ottieni che \( f_{*}\tau_1\subseteq\tau_2 \).
Inoltre visto che usi la notazione \(f_{*}\), avresti dovuto scrivere \(g^{-1}_{*}\).

Al contrario, sia \( V \) un sottoinsieme di \( X_1 \), tale che la sua immagine mediante la diretta \( f \) sia aperta in \( X_2 \). Allora si ha che \( f^{-1}fU\subset U \) (vale l'uguaglianza) è aperta. \( \square \)

E quindi hai che \( f_{*}\tau_1\subseteq\tau_2 \), hai dimostrato due volte la stessa inclusione, per l'altra devi partire da un aperto di $X_2$ e far vedere che lo puoi scrivere come immagine tramite $f$ di un aperto di $X_1$.

[marco2132k]

Grazie per la risposta.

Non basta che sia contenuto, è proprio uguale

Sì, qui volevo sottolineare che \( f_{*}V \) contiene un aperto, ed è perciò aperto. Infatti la cosa non aveva molto senso dato che semplicemente \( g^{*}V=f_{*}V \).

Per quanto riguarda il secondo punto, ho utilizzato il risultato che ho messo in apertura (nel caso di questo post, \( h\) è \( f_{*} \), e \( A \) e \( B \) sono le due topologie):

Se \( h\colon A\to B \) è una funzione e \( U \), \( V \) sono due sottoinsiemi rispettivamente di \( A \) e \( B \), [...] \( h_{*}U=V \) se e solo se per ogni \( a\in A \) è \( a\in U \) se e solo se \( f(a)\in V \)

Nel dimostrare che se \( f \) è omeomorfismo allora \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \), all'inizio considero, come ho fatto qui su, un aperto di \( X_1 \) e provo che la sua immagine mediante \( f \) è aperta; poi, al contrario, prendo un sottoinsieme \( V \) qualunque di \( X_1 \) tale che la sua immagine sia aperta in \( X_2 \): allora ho che \( f^{*}f_{*}U=U \), ossia che \( U \) è aperto perché \( f \) è continua.

Ho creduto fin dall'inizio che usare questo risultato faccia solo confusione senza aggiungere nulla, ma il libro mi enuncia il teorema sugli omeomorfismi in questa forma.

[anto_zoolander]

È normale, una biezione tra due insiemi $A,B$ induce una biezione tra $P(A),P(B)$. Se poi la funzione è aperta e continua hai finito

[otta96]

Sì, qui volevo sottolineare che \( f_{*}V \) contiene un aperto, ed è perciò aperto.

Eh, lo avevo capito, io volevo sottolineare che non è vero che se un insieme contiene un aperto è aperto, anche per il motivo stupido che ogni insieme contiene l'insieme vuoto che è aperto per definizione ed esistono topologie non discrete.
Comunque non hai ancora dimostrato \(f_{*}\tau_1\supseteq\tau_2\).

[marco2132k]

@anto_zoolander L'esercizio chiede proprio di dimostrare che \( f \) è un omeomorfismo se e solo se è aperta e continua.

@otta96 Hai ragione! Sono fuso, e continuo a credere di essere in uno spazio metrico

Non mi è chiaro però perché non ho dimostrato che \( f_{*}\tau_1\supset\tau_2 \): ho provato che

per ogni \( V\subset X_1 \), vale \( V\in\tau_1\Leftrightarrow f_{*}V\in\tau_2 \)

Allora per il risultato che cito è \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \).

In ogni caso, lo faccio in un altro modo (che secondo me è più chiaro). Se \( f \) è il nostro omeomorfismo allora \( f_{*}\tau_1\supset\tau_2 \), perché preso un aperto \( U \) di \( X_2 \) abbiamo che la sua immagine inversa \( f^{*}U \) è aperta in \( X_1 \), e quindi \( U=f_{*}f^{*}U \) è l'immagine di un aperto di \( X_1 \). È inoltre \( f_{*}\tau_1\subset\tau_2 \), perché preso un elemento \( U=f_{*}V \) di \( f_{*}\tau_1 \) (dove \( V \) è u aperto di \( X_1 \)), abbiamo che \( g^{*}V=f_{*}V \).

[otta96]

Probabilmente hai ragione, discende dal risultato citato nel post. Comunque secondo me quel risultato serve solo a rendere più brutta questa dimostrazione, va più che bene quella che hai fatto nelle ultime righe dell'ultimo post.
P. S. Nemmeno negli spazi metrici un insieme che contiene un aperto è aperto

[marco2132k]

P. S. Nemmeno negli spazi metrici un insieme che contiene un aperto è aperto

Infatti, deve contenere un aperto per ogni punto. Ho detto che oggi sono fuso! Ti ringrazio per aver controllato comunque.