Esercizio applicazioni lineari con parametro

Messaggioda fedeing. » 16/05/2019, 17:14

Considerando:
$ f( ( 1 ),( 2 ),( k ) ) = ( ( 2+k ),( 3 ),( 0 ) ) $ , $ f( ( 2 ),( k+1 ),( -1 ) ) = ( ( 1 ),( 1 ),( -2 ) ) $ , $ f( ( -3 ),( 1 ),( 5 ) ) = ( ( 1 ),( k ),( 2 ) ) $
con $ f_k : R^3 rarr R^3 $ e $ k in R $.
Per ogni k determinare quante sono le $ f_k $.

Già alla richiesta vado in difficoltà. Mi sta chiedendo di trovare per quali valore di k, le tre funzioni sopra elencate mi rispettano l'endomorfismo, giusto? Se si, dovrei quindi trovare qualcosa del tipo $ f( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( x ),( y ),( z ) ) $ , cioè applicazioni chiuse in se stesse, le cui immagini appartengono al dominio (credo). Com'è possibile? O meglio, come posso fare?
Grazie.
fedeing.
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Re: Esercizio applicazioni lineari con parametro

Messaggioda Bokonon » 17/05/2019, 07:29

L'applicazione f è una sola. Chiede se effettivamente esista e quante ve ne siano al variare di k.
Io lo risolvo a modo mio e non uso quei sistemoni da totocalcio che insegnano di solito.
Chiamiamo F la matrice associata all'appplicazione f.
$ A=( ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , k+1 , 1 ),( k , -1 , 5 ) ) $
$ B=( ( 2+k , 1 , 1 ),( 3 , 1 , k ),( 0 , -2 , 2 ) ) $

Il problema si compatta nell'equazione $FA=B$
Il modo in assoluto più semplice di ragionare IMHO è chiedersi per quali valori di k $det(A)!=0$, quindi invertibile.
In questi casi esiste sempre un'unica applicazione $F=BA^(-1)$ che risolve il sistema (indipendentemente da cosa contiene B).

Si scopre che $det(A)=0$ quando $k=-4,2/3$, mentre $det(B)=0$ quando $k=-4,1$
Questo ci dice che per $k!=-4,2/3$, la funzione $f_k$ è unica. In particolare sappiamo persino che F avrà sempre rango massimo eccetto quando $k=1$: in questo caso (sono andato a vedere) ha rango 2. Questo solo per dire quante info e deduzioni di possono trarre dall'equazione $F=BA^(-1)$ visto che $rank(F)=min{rank(B), rank(A^(-1))}$

Ora vediamo cosa accade quando $k=2/3$.
$det(FA)=det(F)*det(A)=det(F)*0=0=det(B)!=0$ quindi è assurdo. Pertanto $f_(2/3)$ non esiste.
(è possibile anche fare il medesimo ragionamento che sto per fare nella rimanente casistica ma francamente così ci si risparmia calcoli).

Infine per $k=-4$, allora $det(A)=det(B)=0$ quindi ha senso andare a vedere cosa succede.
Riducendo con Gauss la matrice A, scopriamo che ha rango 2 e che la terza colonna è comb. lineare delle prime due.
In particolare, risolvendo il sistema otteniamo che $-1*a_1-1*a_2=a_3$ (dove $a_i$ e una colonna di A).
Ora, per linearità, se esiste una matrice F che soddisfa l'equazione, allora:
$f(a_3)=f(-a_1-a_2)=-f(a_1)-f(a_2)=-b_1-b_2=b_3$
Sostituendo si verifica facilmente che la linearità è soddisfatta, pertanto esistono infinite $f_(-4)$.
Nel dettaglio, ci sarà una soluzione particolare (matrice) P per cui $F= P+t( ( 2 , 1 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ) ) $ con $ t in R $
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