Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio:
Sia $phi$ un prodotto scalare su $mathbb{R}^5$ con segnatura $sigma=(3, 2,0)$ .
Sia $W$ un sottospazio, determinare al variare della dimensione di $W$ la segnatura di $phi$ ristretto $W$.
Ora ho studiato abbastanza agilmente fino a $dimW=3$. I problemi mi nascono alla dimensione 4. Per fare un esempio, senza entrare in tutti casi, secondo me non può essere che $sigma(phi|W)=(3, 0,1)$, ma non riesco a dimostrarlo in alcun modo. Inizialmente, per dimostrare l'esistenza di segnature del tipo $(0,0,2)$ quando $dimW=2$ avevo ragionato trovandomi una base ortogonale normalizzata rispetto a $phi$ in $mathbb{R}^5$, $B={v_1,v_2,v_3,v_4,v_5}$ dove $phi(v_4,v_4)=phi(v_5,v_5)=-1$ e $phi(v_1,v_1)=...=phi(v_3,v_3)=1$. Mi costruivo così, caso per caso i vettori isotropi del tipo $v_1+v_4$ che diventavano parte del radicale del sottospazio $W$. Poiché chiaramente questo giochino é impossibile nel caso citato ho dedotto che quella segnatura non sia ammissibile, ma non trovo una motivazione rigorosa per dimostrarlo. Cerco illuminazioni, grazie a tutti!