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Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia

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Una topogia particolare

17/05/2019, 18:19

Salve, leggevo il seguente teorema e mi è sorto un dubbio
Sia $X$ un insieme e $\mathcal{B}$ un sottoinsieme di $\mathcal{P}(X)$. Esiste una topologia $\tau$ su $X$ di base $\mathcal{B}$ se e solo se
1. $X=\bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$
2. $\forall A,B\in \mathcal{B}$ e $\forall x\in A\cap B$ esiste $C\in A\cap B$ tale che $x\in C$

Se prendo un insieme $X$ qualsiasi, $\mathcal{B}=\{ \{x\} : x\in X\}$ rispetta la condizione 1. e la 2. Ora in questa topologia, avrei che ogni insieme è aperto e chiuso allo stesso tempo. Ho detto qualche scemenza? Grazie

Re: Una topogia particolare

17/05/2019, 18:34

No, è corretto: si chiama topologia discreta. La topologia in questo caso coincide con le parti di $X$: $\tau=\mathfrakP(X)$. Esistono spazi che hanno la topologia discreta come topologia standard (gli spazi discreti, appunto, come $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$...)

Re: Una topogia particolare

17/05/2019, 20:59

grazie mille
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