Una topogia particolare

Salve, leggevo il seguente teorema e mi è sorto un dubbio

Sia $X$ un insieme e $\mathcal{B}$ un sottoinsieme di $\mathcal{P}(X)$. Esiste una topologia $\tau$ su $X$ di base $\mathcal{B}$ se e solo se
1. $X=\bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$
2. $\forall A,B\in \mathcal{B}$ e $\forall x\in A\cap B$ esiste $C\in A\cap B$ tale che $x\in C$

Se prendo un insieme $X$ qualsiasi, $\mathcal{B}=\{ \{x\} : x\in X\}$ rispetta la condizione 1. e la 2. Ora in questa topologia, avrei che ogni insieme è aperto e chiuso allo stesso tempo. Ho detto qualche scemenza? Grazie

grazie mille