Sulla definizione di Applicazion tra Varietà Liscie: Equivalenza
Inviato: 19/05/2019, 13:11Definizione. Siano $M$ e $N$ varietà liscie, e sia $F:M\to N$ un'applicazione. Diremo che $F$ è un'applicazione liscia se per ogni $p\inM$, esiste una carta liscia $(U,\varphi)$ contenente $p$ e una carta liscia $(V,\psi)$ contenente $F(p)$ tale che $F(U)\subseteq V$ e la composizione $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)$ è liscia.
Si dimostra che ogni applicazione liscia $F: M\to N$ tra varietà liscie è continua.
I miei dubbi sono sulla dimostrazione della seguente proposizione lasciata per esercizio dal mio libro di testo.
Proposizione. Supponiamo che $M$ e $N$ siano due varietà liscie con o senza bordo, ed $F:M\to N$ un'applicazione. Sono equivalenti:
$(a) \quad F$ $\quad$ è liscia;
$(b)\quad$ Per ogni $p\in M$, esiste una carta liscia $(U,\varphi)$ contenente $p$ e una carta liscia $(V,\psi)$ contenente $F(p)$
tale che $U\cap F^{-1}(V)$ è aperto in $M$ e la composizione $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap F^{-1}(V))\to\psi(V)$ è liscia;
$(c)\quad$ $F$ è continua ed esistono un atlante liscio $\{(U_\alpha,\varphi_alpha)\}$ per $M$ ed un atlante liscio $\ {(V_\beta,\psi_\beta)\}$ per $N$ tale che per ogni $\alpha$ e $\beta$, $\psi_\beta\circ F\circ \varphi_\alpha^{-1}$ è un'applicazione liscia da $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap F^{-1}(V_\beta))$ a $\psi_\beta(V_\beta)$
Dimostrazione $(c)\rightarrow(a).$ Sia $p\in M$. Supponiamo che $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ sia una carta liscia contenente $p$ e $(V_\beta,\psi_\beta)$ contenente $F(p)$. (Esistono sempre perché carte dell'atlante). Siano, ora, $(U,\varphi)$ una carta contenente $p$ e $(V,\psi)$ una carta contenente $F(p)$, dobbiamo mostrare che $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)$ è liscia. Osseviamo che $U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta)$ è aperto in $M$, poiché $F$ è continua, allora la composizione $$\psi\circ F\circ\varphi^{-1}_\alpha|_{\varphi(U\cap U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta))}=(\psi\circ\psi^{-1}_\beta)\circ(\psi_\beta\circ F\circ\varphi^{-1}_\alpha)\circ(\varphi_\alpha\circ\varphi^{-1}):\varphi(U\cap U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta))\to \psi(V\cap V_\beta).$$ Osserviamo che $F(U\cap U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta))\subseteq V\cap V_\beta$. In questo modo abbiamo mostrato che la composizione è liscia in un intorno (aperto) di $p$. allora la tesi.
$(a)\rightarrow (b)$ e $(b)\rightarrow (c)$ sono semplici.
E' corretto questo modo di procedere?
Grazie!
Si dimostra che ogni applicazione liscia $F: M\to N$ tra varietà liscie è continua.
I miei dubbi sono sulla dimostrazione della seguente proposizione lasciata per esercizio dal mio libro di testo.
Proposizione. Supponiamo che $M$ e $N$ siano due varietà liscie con o senza bordo, ed $F:M\to N$ un'applicazione. Sono equivalenti:
$(a) \quad F$ $\quad$ è liscia;
$(b)\quad$ Per ogni $p\in M$, esiste una carta liscia $(U,\varphi)$ contenente $p$ e una carta liscia $(V,\psi)$ contenente $F(p)$
tale che $U\cap F^{-1}(V)$ è aperto in $M$ e la composizione $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap F^{-1}(V))\to\psi(V)$ è liscia;
$(c)\quad$ $F$ è continua ed esistono un atlante liscio $\{(U_\alpha,\varphi_alpha)\}$ per $M$ ed un atlante liscio $\ {(V_\beta,\psi_\beta)\}$ per $N$ tale che per ogni $\alpha$ e $\beta$, $\psi_\beta\circ F\circ \varphi_\alpha^{-1}$ è un'applicazione liscia da $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap F^{-1}(V_\beta))$ a $\psi_\beta(V_\beta)$
Dimostrazione $(c)\rightarrow(a).$ Sia $p\in M$. Supponiamo che $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ sia una carta liscia contenente $p$ e $(V_\beta,\psi_\beta)$ contenente $F(p)$. (Esistono sempre perché carte dell'atlante). Siano, ora, $(U,\varphi)$ una carta contenente $p$ e $(V,\psi)$ una carta contenente $F(p)$, dobbiamo mostrare che $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)$ è liscia. Osseviamo che $U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta)$ è aperto in $M$, poiché $F$ è continua, allora la composizione $$\psi\circ F\circ\varphi^{-1}_\alpha|_{\varphi(U\cap U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta))}=(\psi\circ\psi^{-1}_\beta)\circ(\psi_\beta\circ F\circ\varphi^{-1}_\alpha)\circ(\varphi_\alpha\circ\varphi^{-1}):\varphi(U\cap U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta))\to \psi(V\cap V_\beta).$$ Osserviamo che $F(U\cap U_\alpha\cap F^{-1}(V\cap V_\beta))\subseteq V\cap V_\beta$. In questo modo abbiamo mostrato che la composizione è liscia in un intorno (aperto) di $p$. allora la tesi.
$(a)\rightarrow (b)$ e $(b)\rightarrow (c)$ sono semplici.
E' corretto questo modo di procedere?
Grazie!
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