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Salve, un esercizio standard dove però non riesco a trovare l'inghippo.
Trovare l'equazione del piano che contiene la retta $ r : x+y=0 , y-z=0 $ e passante per il punto $ A (1,0,1) $

Il mio ragionamento era stato quello di scrivere la retta in forma parametrica, e si trova facilmente che la direzione è $ [-1,1,1]^T $ , per poi costruire il vettore AP, con P punto generico del piano di coordinate x,y,z e successivamente di imporne la perpendicolarità rispetto a un vettore perpendicolare alla direzione della retta.

Quindi ad esempio, $[3,2,1]^T$ è perpendicolare a$ [-1,1,1]^T $, poichè il loro prodotto scalare fa 0.
calcolando il prodotto scalare tra $[3,2,1]^T$ e AP$ [x-1,y,z]^T$ ottengo$ 3x+2y+z=5$ , che però è errato. Dove sbaglio?

Un vettore perpendicolare alla retta non necessariamente è perpendicolare al piano.

Personalmente prenderei due punti $B$ e $C$ arbitrari (magari scelti opportunamente) della retta e poi scriverei l'equazione del piano passante per $A$, $B$ e $C$.

Hai trovato una direzione. Ora considera che la retta passa per l'origine, quindi anche il piano, ergo l'origine fa parte del piano...da cui segue che anche il vettore A è una direzione.
Facendo il prodotto vettoriale $ | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( -1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) | =1*hat(i)+2*hat(j)-1*hat(k) $
e abbiamo ottenuto il vettore perpendicolare al piano: da cui la sua equazione è $x+2y-z=0$