Prodotto Scalare

[Liyus]

Avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio, Grazie
Si consideri il prodotto scalare $\varphi:RR^4$x$RR^4 \rightarrow RR$
$\varphi(X,Y) = X^tAY$, $A=((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,1),(0,0,1,2))$

1) si verifichi che il prodotto scalare $\varphi$ è definito positivo.

Ho provato a calcolare il polinomio caratteristico per trovare gli autovalori, quindi:
$P(A) = Det(A-\lambdaI) = ((2-\lambda,1,0,0),(1,2-\lambda,0,0),(0,0,2-\lambda,1),(0,0,1,2-\lambda)) = (1-\lambda)(3-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+5)$
Ma il polinomio $(\lambda^2-4\lambda+5)$ può essere solo scomposto in numeri complessi, quindi adesso come li trovo gli autovalori? oppure devo semplicemente considerare che è una matrice simmetrica e quindi definito positivo?

[Shocker]

Una matrice simmetrica possiede solo autovalori reali, quindi hai sbagliato a fare il conto.
pro tip: in generale \[ det \left( \begin{array}{ccc}
A & B\\
0 & C \\
\end{array} \right) = det(A)det(C) \]

[Liyus]

Allora devo calcolare il polinomio caratteristico in questa maniera:

$P(M) = Det(A-\lambdaI)(C-\lambdaI) = Det((2-\lambda,1),(1,2-\lambda))((2-\lambda,1),(1,2-\lambda)) = ((2-\lambda)^2-1)((2-\lambda)^2-1) = ((2-\lambda)-1)^2((2-\lambda)+1)^2=(1-\lambda)^2(3-\lambda)^2$

quindi abbiamo autovalori $\lambda=1$ e $\lambda=3$ entrambi con molteplicità algebrica $m_a=2$
e siccome gli autovalori sono tutti positivi maggiori di zero allora il prodotto scalare è definito positivo. Giusto?

[Bokonon]

@Liyus
Si
Potevi anche calcolare i determinanti dei minori lungo la diagonale maggiore.
Sono 2,3,6 e 9 quindi tutti positivi, quindi per Sylvester la matrice è definita positiva