Dubbio su forme bilineari

[albalonga]

Ho un dubbio su un argomento affrontato di recente e su cui devo ancora fissare le idee
La spiegazione fatta in classe è esattamente questa (ho usato il primo risultato su google e mi sembra abbastanza ben spiegato)

https://www.youmath.it/forum/algebra-li ... alare.html

Venendo al dubbio vero e proprio, se io definisco una forma bilineare:

$\phi(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$ in $RR^2$ e mi chiedo "quale è la marice che lo rappresenta secondo la base: (1,0), (1,1)" arrivo a un risultato che non riesco ad interpretare.

Svolgendo i calcoli si avrebbe $M=((1,1),(1,2))$, ora quello che mi sembra di aver fatto è aver posto una nuova base su V (mettiamo V siano i vettori bidimensionali freccette solo perfissare le idee) ora mi aspetterei che sono il vettore di componenti (1,0) identiche al vecchio vettore di componenti (1,0) e (0,1) rispetto alla nuova base che coincide col vecchio vettore di componenti (1,1) (o meglio il vettore v in V è lo stesso, cambiano solo gli isomorfismi in R^2) ad essere ortogonali rispetto a questa definizione di prodotto scalare (forma bilineare particolare).
Invece se svolgo $(0,1)_N.((1,1),(1,2)).(1,0)_N$ (dove con pedice N intendo componenti rispetto alla nuova base) con mia grande meraviglia trovo la componente di valore 1 come se mi dicesse "hey la vecchia rappresentazione $(1,1)$ che ora chiami $(0,1)_N$ si proietta con valore di 1 rispetto a quello che la componente (1,0) rappresenta (tramite isomorfismo) in V.
Eppure io ho costruito la matrice perché possa rappresentare il prodotto (rispetto alla nuova base) $x_1y_1+x_2y_2$ (con $x_n$ e $y_n$ componenti della nuova base) quindi dovrebbe essere zero!
Invece mi sembra che quella matrice rappresenti in ogni base scelta il fatto che le componenti nella vecchia base $(x_1,x_2)$ abbiano quella tale ortogonalità sempre fissa, risultato: non riesco a capirci un tubo.

Non so se mi sono spiegato molto

Grazie

[anto_zoolander]

Non ho capito una cosa; intendi che nel calcolo con la matrice di $phi((1,0),(1,1))$ ti torna un numero diverso?

[albalonga]

Ciao anto_zoolander,

devi perdonarmi, ma non ho capito cosa sia: $phi((1,0),(1,1))$

[EDITO] sprando di chiarire meglio

Più che altro non capisco bene cosa succeda trovando quella matrice (del mio primo messaggio) rispetto a una base diversa da quella canonica (come ho fatto appunto nel messaggio prima).

In pratica io definisco una forma bilineare $\phi(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$ in $RR^2$ con $x_n$ e $y_n$ le componendi tramite isomorfismo da V ad R^2. Fatto questo cambio base e mi porto in una nuova:(1,0),(1,1) che per un altro isomorfismo corrispondono a due nuovi vettori di V da cui ero partito. Questa nuova base rispetto a se stessa avràcomponenti: $(1,0),(0,1)$ non più (1,0),(1,1).
Ora scrivo la matrice che avevo scritto e mi aspetavo che quella matrice mi rappresentasse il nuovo "prodotto scalare" $\phi(x,y)=x'_1y'_1+x'_2y'_2$ in $RR^2$ ma questa volta con $x'_n$ e $y'_n$ intese come componenti rispetto alla base che prima chiamavo (1,0),(1,1) -la mia nuova (1,0),(0,1) per intenderci- e invece noto che non è così. Quella matrice sembra rappresentarmi comunque la scrittura rispetto alle componenti $x_1y_1+x_2y_2$ del primo isomorfismo di v->R^2 e non $x'_1y'_1+x'_2y'_2$

[anto_zoolander]

Allora cerchiamo di chiarire le idee.

una forma bilineare $b:VtimesV->k$ ha semplicemente le proprietà di linearità su ogni componente.
Se lo spazio $V$ ha dimensione finita, posta $B={v_1,...,v_n}$ una sua base, esiste una matrice $A in k^(ntimesn)$ per cui

$phi(v,w)=C_B^(-1)(v)^tAC_B^(-1)(w)$

dove $C_B:k^n->V$ definito come $C_B(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_kv_k$ è l'isomorfismo delle coordinate rispetto alla base $B$ fissata. E' chiaro che $C_B^(-1)$ diventa una notazione pesante quindi si può usare semplicemente la notazione $v_B$ che indica il vettore delle componenti di $v$ rispetto alla base $B$

$phi(v,w)=v_B^tAw_B$

poniamo sotto esame la forma bilineare da te proposta che rispetto alla base $B={(1,0),(1,1)}$ si identifica come

$phi(v,w)=v_B^t[(1,1),(1,2)]w_B$

invece la scrittura \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) è svincolata da basi e non è "rispetto alla base canonica di $RR^2$"

ora se facciamo brutalmente il prodotto

$[x_1,x_2][(1,1),(1,2)][(y_1),(y_2)]=[x_1+x_2,x_1+2x_2]*[(y_1),(y_2)]=x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2+2x_2y_2$

sembra che ci sia una qualche differenza tra le due scritture ma così non è poiché questi termini rappresentano le coordinate e non il vettore stesso.

di fatto se calcoliamo ponendo $[1,1][(1,1),(1,2)][(1),(-1)]$ otteniamo

$1*1+1*1+1*(-1)+2*1*(-1)=-1$

i vettori associati sono

$(1,1)|->1*(1,0)+1*(1,1)=(2,1)$

$(1,-1)|->1*(1,0)-1*(1,1)=(0,-1)$

di fatto \( \phi((2,1),(0,1))=\) $2*0+1*(-1)=-1$

Basta notare che quando passi da \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \) a $(x_1,x_2)_B[(1,1),(1,2)]((y_1),(y_2))_B$ devi cambiare il vettore nelle sue componenti, stessa cosa quando fai al contrario; quando calcoli quel prodotto con le componenti, ti puoi ricavare i vettori.

[albalonga]

Grazie per la dettagliata risposta.

1) Innanzitutto una domanda notazionale, per vedere se ho capito
$C_B:k^n→V$ sarebbe $C_B:R^n→V$ giusto? (nel senso l'isomorfismo con le basi, un po' come succedenel piano cartesiano va da un V spazio vettoriale ad una ennupla)

2)Tornando al discorso principale..

Dunque mi pare di capire che il mio errore fosse qui:

invece la scrittura \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) è svincolata da basi e non è "rispetto alla base canonica di $RR^2$"

poiché intendevo i (2,1) e (0,-1) come componenti rispetto alla base canonica e non come veri e propri vettori di $R^n$:

$(1,1)|->1*(1,0)+1*(1,1)=(2,1)$

$(1,-1)|->1*(1,0)-1*(1,1)=(0,-1)$

Quindi la forma: \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) semplicemente non parla di componenti ma dice prendi il la prima componente del vettore (non componente intesa come componente rispetto alla base canonica, ma come componente del vettore ennupla n1, n2 ecc) e moltiplicala per la prima del secondo vettore poi sommala ecc..

Forse l'incomprensione nasceva dal fato che però in realtà prendere le componenti di un vettore rispetto alla base canonica crea un nuovo spazio delle componenti isomorfo all' $R^n$ di partenza e del tutto indistinguibile, sbaglio?
Cioè alla fine è un po' la stessa cosa. Mi pare, da profano.

Ti ringrazio pr le tue risposte

[anto_zoolander]

1) si è semplicemente l’isomorfismo delle coordinate dove $k$ è un campo; nel tuo caso $k=RR$

2) nella sostanza si il vettore delle componenti di un vettore di $RR^n$ rispetto alla base canonica è lo stesso. Questo significa che l’isomorfismo delle coordinate rispetto alla base canonica è semplicemente l’applicazione identità

Ciò che distingue il calcolo di \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \) e di $X^tAY$ è che il primo opera direttamente sul vettore, mentre il secondo opera sulle coordinate dei vettori e ciò che lega le due cose è proprio l’isomorfismo delle coordinate rispetto ad una base perché fa “dipendendere” l’uno dall’altro.

In termini spicci tu puoi calcolarti la matrice $A$ e lavorare solo su $X^tAY$; l’importante è che se ti serve sapere precisamente quali sono i vettori in gioco, calcoli $X|->x_1v_1+...+x_nv_n$ e $Y|->y_1v_1+...+y_nv_n$

[albalonga]

Bene direi che mi pare di aver trovato il bandolo della matassa.

L'unica cosa che vorrei mettere apposto per finire il discorso è questo (che era l'esempio intuitivo che mi ha portato fuori strada):

Parto da un piano cartesiano che chiamo V spazio, e prendo come vettori le freccette tanto care a noi principianti lol, a questo punto io voglio introdurre la forma \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) che non dipende dalla base. Beh però per farlo -dato che come dicevamo lavora in modo slegato dalla base, ma sui vettori, come posso fare?
In reltà le freccete vettori hanno leggi di composizione lineare (che in fin dei conti è quello che definisce uno spazio vettoriali), ha operazioni tipiche (traslazioni ecc) eppure non ha alcun senso fare $x_1y_1+x_2y_2$ almeno fintanto che non introduco una base (freccette privilegiate) a questo punto ho un isomorfismo tra queste entità geometriche con $R^n$ però in realtà sono componenti non sono il vettore $(x_1,y_1)$ anche perché geometricamente non ha senso quel vettore (ennupla) in V!

Per questo all'inizio dicevo che devo avere un isomorfismo canonico e poi definire la forma bilineare.

Questa faccenda come la sistemo?

Grazie ancora.

[anto_zoolander]

Aspetta frena; guarda che $x_1y_1+x_2y_2$ non vuole essere un vettore ma un numero

[albalonga]

No, certo, quello è un numero, inoltre anche (x1,x2) sono i due numeri che compongono il vettore di $RR^n$, però ha senso parlare di (x1,x2) solo se si è nello spazio vettoriale $R^n$, perché se sono in V qualsiasi (es: le freccette di cui sopra) cosa vuol dire per un'entità geometrica la componente x1 del vettore? mi pare che non abbia senso finché non faccio le proiezioni sulla base, ma questo vuol dire creare un isomorfismo canonico, allora lì x1 e x2 saranno le prioezioni, però è un isomorfismo che dipende dalla base scelta, per questo mi sembrava $phi$ dipendesse dalla base (proprio per come è costruito dato che è un prodotto e somma di numeri che compongono il vettore).

Insomma il discorso di prima mi pare filare finché non passo a considerare vettori non più come ennuple ma come enti geometrici. A quel punto la forma bilineare scritta deve dipendere dalla base.

Non so se ho spiegato il dubbio esistenziale in cui mi intorto

[anto_zoolander]

Ma no in generale le forme bilineare non dipendono da basi ed è molto meglio che sia così
Il tuo problema è avere a che fare con forme bilineare quando hai uno spazio vettoriale che non sia $RR^n$? Se è questo il problema un esempio lo troviamo