Re: Dubbio su forme bilineari

Messaggioda albalonga » 21/05/2019, 17:19

Forse sì, cioè non capiesco perché se una forma bilinere è così definita \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) mi stai dicendo che non dipende dalle componenti anche se è una freccetta.
Lo riesco a vedere solo facendo un isomorfismo su R^n (prendo due freccette privilegiate che chiamo base) così che quegli x1 e x2 divengono numeri (componenti della proiezione)

Se fossi un omino che vive nello spazio delle freccette per me $x_1y_1+x_2y_2 $ non avrebbe senso :-D


PS:
Uhm forse stai dicendo che l'espressione \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) vale in $RR^n$ ma nello spazio V (es. vettori freccia geometrica) $\phi$ ha una forma diversa ($\phi(v_1,v_2)$) non data da $x_1y_1+x_2y_2$?
albalonga
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Re: Dubbio su forme bilineari

Messaggioda anto_zoolander » 21/05/2019, 18:34

E' semplicemente un'operazione che associa a due vettori un numero, non c'è nulla di strano.
Di fatto non associ a due vettori un vettore ma a due vettori un numero e quel numero sta in un insieme numerico, non all'interno dello spazio vettoriale di partenza.

Per esempio i prodotti scalari sono particolari forme bilineari e servono per il calcolo di; lunghezze, angoli e proiezioni che sono di fatto dei numeri ottenuti proprio a partire da vettori.

Prendiamo per esempio lo spazio $V:=C([0,1],RR)$ delle funzioni continue da $f:[0,1]->RR$ e definiamo

$phi(f,g)=int_(0)^(1)f(x)g(x)dx$

prova a dimostrare che è una forma bilineare.

restringiamo per esempio la forma al sottospazio $W= <<x,x^2>>$
le due funzioni sono linearmente indipendenti quindi formano una base di $W$ pertanto a questo punto viene associato in maniera naturale l'isomorfismo $C_B(lambda, mu)=lambdax^2+mux$ come applicazione da $RR^2$ a $W$

$phi(x,x)=int_(0)^(1)x^2dx=1/3$

$phi(x^2,x^2)=int_(0)^(1)x^4dx=1/5$

$phi(x^2,x)=int_(0)^(1)x^3dx=1/4$

$phi(x,x^2)=1/4$


quindi la matrice rappresentativa è $A=[(1/3,1/4),(1/4,1/5)]$

ora per esempio $[(1,-1)][(1/3,1/4),(1/4,1/5)]*[(1),(0)]=[(1/12,1/20)]*[(1),(0)]=1/12$

le funzioni in causa sono $f(x)=x-x^2$ e $g(x)=x$

infatti
$int_(0)^(1)(x-x^2)xdx=int_(0)^(1)(x^2-x^3)dx=1/3-1/4=1/12$


come vedi le forme bilineari sono particolari funzioni che associano a due vettori( in questo caso funzioni ) un numero ( in questo caso l'integrale del prodotto ).
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Re: Dubbio su forme bilineari

Messaggioda albalonga » 21/05/2019, 19:04

Wow!

Il fatto è che mi ero persuaso, dagli esempi fatti in classe, che ogni forma bilineare fosse \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) invece questa è la forma solo per $R^2$

Bastava fare un esempio su uno spazio di funzioni notando che in questo caso si definisce così $phi(f,g)=int_(0)^(1)f(x)g(x)dx$.

Non ci ero proprio arrivato, direi illuminante.

Grazie mille, ora mi sembra molto chiaro

Mi chiedo, a latere, se sia sempre possibile tramite isomorfismi (leggasi: scegli una base per V e scomponilo sulle coordinate) portarmi però a una forma \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) dove sfrutto le componenti sulla base, partendo da uno spazio V qualunque. Mi parrebbe che sia fattibile intuitivamente.

Piccolo OT
PS: la cosa strana di questa materia è che mi capita di crearmi un'idea su come funzioni una certa "faccenda" per poi scoprire qualche tempo dopo che era una intepretazione sbagliata ed era da vedere in un modo diverso (vedasi questo thread). Mi chiedo, da principiante, come possa fare a non cadere in questi errori. Eppure seguo lezioni e libro di testo,ma a volte di fronte alla mia stupidità evidentemente non bastano....
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Re: Dubbio su forme bilineari

Messaggioda anto_zoolander » 21/05/2019, 19:58

puoi anche definire \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2)=x_1y_2+x_2y_1 \) e questa è un'altra forma bilineare su $RR^2$, in genere non ne esiste una sola.

In particolare tutte le forme del tipo $phi(X,Y)=X^tAY$ dove $A$ è una matrice quadrata e $X,Y in RR^n$ sono forme bilineari

NB un teorema ti dice proprio che ogni forma bilineare su uno spazio finito si può rappresentare come una forma bilineare del tipo $X^tAY$. E' giusto che sia così, questo perché mettendo i relazione gli spazi vettoriali tramite gli isomorfismi, tutti gli spazi di dimensione finita sono isomorfi a $RR^n$ per qualche intero $n$

albalonga ha scritto:Mi chiedo, a latere, se sia sempre possibile tramite isomorfismi (leggasi: scegli una base per V e scomponilo sulle coordinate) portarmi però a una forma ϕ((x1,x2),(y1,y2))=x1y1+x2y2 dove sfrutto le componenti sulla base, partendo da uno spazio V qualunque. Mi parrebbe che sia fattibile intuitivamente.


si è fondamentalmente quello che ho fatto sopra.
La forma bilineare $ phi(f,g)=int_(0)^(1)f(x)g(x)dx $ è perfettamente identificata da

$[x_1,x_2]*[(1/3,1/4),(1/4,1/5)]*[(y_1),(y_2)]$

ti basta solo ricordare cosa rappresentino $x_1,x_2,y_1,y_2$

Però considera che in genere non sempre una forma bilineare si può scrivere come $x_1y_1+x_2y_2$ rispetto a qualche base; vedrai che quando si parla di forme simmetriche(tipo questa) si può parlare di basi ortogonali e ortonormali che ti permettono di ridurre una forma bilineare a una cosa del tipo $x_1y_1+...+x_ny_n$

albalonga ha scritto:Piccolo OT

un buon modo per affrontare queste cose è farlo in maniera personale; mettiti a scrivere tanto, fatti esempi, chiediti se ciò che stai facendo ha senso, se quanto stai facendo rispetta l'idea che ti eri fatto e così via.
Purtroppo il processo di assimilazione della matematica è lungo :-D
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Re: Dubbio su forme bilineari

Messaggioda albalonga » 21/05/2019, 20:13

Molto molto chiaro :)

Per ora ho esaurito i dubbi (mi pare) :-D

Grazie davvero!
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Re: Dubbio su forme bilineari

Messaggioda dissonance » 29/05/2019, 00:29

albalonga ha scritto:PS: la cosa strana di questa materia è che mi capita di crearmi un'idea su come funzioni una certa "faccenda" per poi scoprire qualche tempo dopo che era una interpretazione sbagliata ed era da vedere in un modo diverso

Perché è così che funziona l'apprendimento umano. Un tempo pensavamo che la luce fosse composta da raffiche di palline piccolissime. Poi abbiamo detto che no, in realtà erano onde elettromagnetiche. Poi abbiamo detto che non erano né palline né onde, ma una cosa intermedia tra le due.

Nota, però, che ad ogni passo non si butta via ciò che si era imparato al passo precedente. Per fare delle riprese televisive, o per installare un pannello fotovoltaico, ci va benissimo pensare che la luce sia una raffica di palline. Per costruire una rete di fibre ottiche, o un lettore CD, ci va benissimo pensare che sia una onda elettromagnetica.

Lo stesso succede con la matematica. D'accordo: una forma bilineare non è una matrice, è un oggetto più sofisticato. Poi scoprirai che ci sono oggetti ancora più sofisticati, i tensori, che includono le forme bilineari. Ed esistono oggetti che includono i tensori. Eccetera eccetera. Ma se ci danno l'equazione di una ellisse, e ne vogliamo determinare il centro e gli assi, ci va più che bene ragionare in termini di matrici; i tensori non ci aiutano. Proprio come non stiamo a pensare alla natura ondulatoria della luce, mentre montiamo una tenda da sole.
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