E' semplicemente un'operazione che associa a due vettori un numero, non c'è nulla di strano.
Di fatto non associ a due vettori un vettore ma a due vettori un numero e quel numero sta in un insieme numerico, non all'interno dello spazio vettoriale di partenza.
Per esempio i prodotti scalari sono particolari forme bilineari e servono per il calcolo di; lunghezze, angoli e proiezioni che sono di fatto dei numeri ottenuti proprio a partire da vettori.
Prendiamo per esempio lo spazio $V:=C([0,1],RR)$ delle funzioni continue da $f:[0,1]->RR$ e definiamo
$phi(f,g)=int_(0)^(1)f(x)g(x)dx$
prova a dimostrare che è una forma bilineare.
restringiamo per esempio la forma al sottospazio $W= <<x,x^2>>$
le due funzioni sono linearmente indipendenti quindi formano una base di $W$ pertanto a questo punto viene associato in maniera naturale l'isomorfismo $C_B(lambda, mu)=lambdax^2+mux$ come applicazione da $RR^2$ a $W$
$phi(x,x)=int_(0)^(1)x^2dx=1/3$
$phi(x^2,x^2)=int_(0)^(1)x^4dx=1/5$
$phi(x^2,x)=int_(0)^(1)x^3dx=1/4$
$phi(x,x^2)=1/4$
quindi la matrice rappresentativa è $A=[(1/3,1/4),(1/4,1/5)]$
ora per esempio $[(1,-1)][(1/3,1/4),(1/4,1/5)]*[(1),(0)]=[(1/12,1/20)]*[(1),(0)]=1/12$
le funzioni in causa sono $f(x)=x-x^2$ e $g(x)=x$
infatti
$int_(0)^(1)(x-x^2)xdx=int_(0)^(1)(x^2-x^3)dx=1/3-1/4=1/12$
come vedi le forme bilineari sono particolari funzioni che associano a due vettori( in questo caso funzioni ) un numero ( in questo caso l'integrale del prodotto ).