Polinomio minimo

[anti-spells]

Salve ragazzi, qualcuno può darmi una dritta sul come dimostrare questo:

Si provi che se $phi$ è un endomorfismo di k-spazio vettoriale V di dimensione finita con polinomio minimo $lambda_phi(x) = x^k(x-1)^h$ allora l'endomorfismo di proiezione su $ker(phi^k)$ lungo la direzione di $im(phi^k)$ è polinomiale in $phi$

Qualche idea? Devo usare il lemma di decomposizione?

[Bokonon]

Salve ragazzi, qualcuno può darmi una dritta sul come dimostrare questo:

Si provi che se $phi$ è un endomorfismo di k-spazio vettoriale V di dimensione finita con polinomio minimo $lambda_phi(x) = x^k(x-1)^h$ allora l'endomorfismo di proiezione su $ker(phi^k)$ lungo la direzione di $im(phi^k)$ è polinomiale in $phi$

Qualche idea? Devo usare il lemma di decomposizione?

Ciao anti-spells, ti posso dire ciò che vedo.
Ma prima $lambda_phi(x) = x^k(x-1)^h$ è un polinomio caratteristico IMHO, il cui polinomio minimo è $lambda_phi(x) = x(x-1)$
No?
Secondo, non mi è chiaro cosa significhi l'espressione "è polinomiale in $phi$"

Comunque sia, ti dico cosa vedo. Il polinomio caratteristico è legato ad un'applicazione $phi$ con autovalori 0 e 1. Quindi è una matrice di proiezione lungo l'autospazio legato all'autovalore 0 (di dimensione k) e sull'autospazio legato all'autovalore 1 (di dimensione h).
Tradotto, $phi$ è la proiezione dei vettori di $R^(k+h)$ lungo il $ker(phi)$ su $im(phi)$.
Da cui $phi^k=phi$ perchè ogni matrice di proiezione è una matrice involutoria (quindi $ker(phi^k)=ker(phi)$ e $im(phi^k)=im(phi)$)
Se chiamiamo $psi$ la proiezione di $ker(phi)$ su $im(phi)$, allora sappiamo che $phi+psi=I$ e che il polinomio caratteristico di $psi$ è $lambda_psi(x) = x^h(x-1)^k$
Quindi $phi$ e $psi$ hanno il medesimo polinomio minimo.

[anti-spells]

Grazie mille comunque ho risolto, bisognava usare il lemma di decomposizine e l'identità di Bezout, comunque grazie per averci provato

P.S. $x^k(x-1)^h$ può benissimo essere un polinomio minimo

[Shocker]

Se ti va posta la tua soluzione

[Bokonon]

@anti-spells
Prego
Ma che definizione hai di polinomio minimo?